91Ó°ÊÓ

a.

Given info:

The mass is,

$=0.2\mathrm{kg}$

The spring constant is$10\mathrm{N}/\mathrm{m}$.

Oscillation frequency is,

$\mathrm{f}=\frac{1}{2\mathrm{Ï€}}\sqrt{\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{m}}}$

$\mathrm{f}=\frac{1}{2×3.14}\sqrt{\frac{10\mathrm{N}/\mathrm{m}}{0.2\mathrm{kg}}}$

$\mathrm{f}=1.1\mathrm{Hz}$

Angular frequency is,

$\mathrm{Ó\neg }=\sqrt{\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{m}}}$

$\mathrm{Ó\neg }=\sqrt{\frac{10\mathrm{N}/\mathrm{m}}{0.2\mathrm{kg}}}$

$\mathrm{Ó\neg }=5\sqrt{2}{\mathrm{s}}^{-1}$

Function of time is,

$\mathrm{y}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{Acos}(\mathrm{Ó\neg t}+\mathrm{Ï•})$

For time is zero means,

$\mathrm{y}\left(0\right)=\mathrm{Acos}\left(\mathrm{Ï•}\right)$

$=-20\mathrm{cm}$

Speed is,

${\mathrm{v}}_{\mathrm{y}}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{dy}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{dt}}$

$=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\left[\mathrm{Acos}\right(\mathrm{Ó\neg t}+\mathrm{Ï•}\left)\right]$

${\mathrm{v}}_{\mathrm{y}}\left(\mathrm{t}\right)=-\mathrm{Ó\neg A}\left[\sin \right(\mathrm{Ó\neg t}+\mathrm{Ï•}\left)\right]$

Where time is zero,

${\mathrm{v}}_{\mathrm{y}}\left(0\right)=-\mathrm{Ó\neg A}\left[\mathrm{²õ¾\pm ²ÔÏ•}\right)]=100\mathrm{cm}/\mathrm{s}$

From that,

$\frac{{\mathrm{v}}_{\mathrm{y}}\left(0\right)}{\mathrm{y}\left(0\right)}=-\mathrm{Ó\neg tan}\left(\mathrm{Ï•}\right)=\frac{100\mathrm{cm}/\mathrm{s}}{-20\mathrm{cm}}$

$-\mathrm{Ó\neg tan}\left(\mathrm{Ï•}\right)=-5{\mathrm{s}}^{-1}$

$=-2.526\mathrm{rad}$

Amplitude is ,

$\mathrm{A}=\frac{-20\mathrm{cm}}{\cos (-2.526\mathrm{rad})}$

$=24.5\mathrm{cm}$

Time calculated as,

${\mathrm{v}}_{\mathrm{y}}\left(\mathrm{t}\right)=-\mathrm{Ó\neg Asin}(\mathrm{Ó\neg t}+\mathrm{Ï•})$

$\mathrm{Ó\neg t}+\mathrm{Ï•}={\sin }^{-1}\left(\frac{-50\mathrm{cm}/\mathrm{s}}{\mathrm{Ó\neg A}}\right)$

$\mathrm{t}=\frac{{\sin }^{-1}\left(\frac{-50\mathrm{cm}/\mathrm{s}}{\mathrm{Ó\neg A}}\right)-\mathrm{Ï•}}{\mathrm{Ó\neg }}$

$\mathrm{t}=\frac{{\sin }^{-1}\left[\frac{-50\mathrm{cm}/\mathrm{s}}{\left(5\sqrt{2}{\mathrm{s}}^{-1}\right)(24.5\mathrm{cm})}-(-2.526\mathrm{rad})\right]}{5\sqrt{2}{\mathrm{s}}^{-1}}$

$=0.3158\mathrm{s}$

b.

When speed is $50\mathrm{cm}/\mathrm{s}$,

$\mathrm{x}(0.3158\mathrm{s})=(24.5\mathrm{cm})\cos \left[\left(5\sqrt{2}{\mathrm{s}}^{-1}\right)(0.3158\mathrm{s})-2.526\mathrm{rad}\right]$

$=23\mathrm{cm}$

c.

Where $\mathrm{t}=1.0\mathrm{s}$,

$\mathrm{x}(1.0\mathrm{s})=\mathrm{Acos}(\mathrm{Ó\neg t}+\mathrm{Ï•})$

$=(24.5\mathrm{cm})\cos \left[\left(5\sqrt{2}{\mathrm{s}}^{-1}\right)(1.0\mathrm{s})+2.526\mathrm{rad}\right]$

$=-4.1\mathrm{cm}$