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Chapter 23: Problem 2

Man berechne die Fourier-Reihe der Funktion $$ f(x)=|\sin x| $$

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Die Fourier-Reihe von \(f(x) = |\sin(x)|\) ist \(f(x) \approx \frac{4}{\pi} + \sum_{n \text{ ungerade}} a_n \cos(nx)\), wobei \(a_n\) f眉r ungerade \(n\) zu berechnen sind und 0 f眉r gerade \(n\).

Step by step solution

01

Analyse der Funktion und Periodizit盲t

Die Funktion \(f(x) = |\sin(x)|\) ist eine gerade Funktion, da \(|\sin(-x)| = |\sin(x)|\). Sie hat eine Periode von \(\pi\), aber f眉r die Fourier-Reihe ist es oft vorteilhaft, die Doppelperiode zu verwenden. Hier benutzen wir also eine Periode von \(2\pi\).
02

Bestimmung der Fourier-Koeffizienten

Da \(f(x)\) eine gerade Funktion ist, werden alle Sinus-Terme der Fourier-Reihe 0 sein. Wir berechnen also nur die Koeffizienten f眉r die Kosinus-Terme und den konstanten Term \(a_0\). Die Koeffizienten sind definiert als \(a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \,dx\) und \(a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx)\, dx\) f眉r \(n \geq 1\).
03

Berechnung des konstanten Terms \(a_0\)

Berechne \(a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |\sin(x)| \,dx\), indem das Integral von \(0\) bis \(\pi\) berechnet und dann verdoppelt wird: \(a_0 = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin(x) \,dx\).
04

Berechnung des Integranden f眉r \(a_0\)

Das Integral \(\int \sin(x) \,dx = -\cos(x)\) f眉hrt zu \(a_0 = \frac{2}{\pi} [-\cos(x)]_0^{\pi} = \frac{2}{\pi} [1 - (-1)] = \frac{4}{\pi}\).
05

Berechnung der Koeffizienten \(a_n\) f眉r \(n \geq 1\)

Da \(f(x) = |\sin(x)|\) gerade ist, ergibt das Integral 眉ber eine volle Periode von \(-\pi\) bis \(\pi\) das Doppelte des Integrals von \(0\) bis \(\pi\). Daher berechnen wir \(a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin(x)\cos(nx)\,dx\). Mit dem Additionstheorem k枚nnen wir den Integranden umformen zu \(\frac{1}{2} [\sin((n+1)x) - \sin((n-1)x)]\).
06

Integration f眉r Koeffizienten \(a_n\)

Das Integral \(\int \sin((n+1)x) \,dx = -\frac{1}{n+1}\cos((n+1)x)\) und \(\int \sin((n-1)x) \,dx = -\frac{1}{n-1}\cos((n-1)x)\), so dass sich die Integrale bei einigen \(n\) aufheben bzw. \(a_n = 0\) f眉r alle geradzahligen \(n\). F眉r ungerade \(n\) ergibt sich keine Vereinfachung.
07

Bestimmung von \(a_n\) f眉r ungerade \(n\)

Berechne \(a_n\) nur f眉r ungerade \(n\), da f眉r gerade \(n\) \(a_n = 0\) ist: \(a_n = \frac{1}{\pi} \left[\frac{-\cos((n+1)x)}{n+1} - \frac{-\cos((n-1)x)}{n-1}\right]_0^{\pi}\). Nach Berechnen und Vereinfachen, ergeben sich Werte f眉r \(a_n\), die auch von \(n\) abh盲ngen.
08

Formulierung der Fourier-Reihe

Die Fourier-Reihe von \(f(x) = |\sin(x)|\) besteht aus dem konstanten Term und den Kosinus-Termen mit ungeraden Koeffizienten: \(f(x) \approx \frac{a_0}{2} + \sum_{n \text{ ungerade}} a_n \cos(nx)\).

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Absolute Wertfunktion
Die \textbf{Absolute Wertfunktion} bezeichnet in der Mathematik eine Funktionsart, die den absoluten Wert (Betrag) einer Zahl oder eines Ausdrucks wiedergibt. Dies wird durch das Symbol \textbar x \textbar dargestellt, welches den Abstand der Zahl x zur Null auf der Zahlengerade repr盲sentiert. F眉r die Funktion \( f(x) = |\sin(x)| \), die in unserer 脺bung untersucht wird, bedeutet dies, dass die negativen Werte des Sinus von x als positive Werte betrachtet werden.
\( |\sin(x)| \) hat interessante Eigenschaften: Sie ist immer nicht-negativ und formt die sonst wellenf枚rmigen Sinuskurven in \

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Man beweise: Ist \(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) eine gerade (bzw. ungerade) periodische Funktion, so hat die Fourier-Reihe von \(f\) die Gestalt $$ \frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty} a_{k} \cos k x \quad\left(\text { bzw. } \sum_{k=1}^{\infty} b_{k} \sin k x\right) $$

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