91Ó°ÊÓ

Man entwickle die Zahl \(x=\frac{1}{7}\) in einen \(b\)-adischen Bruch für \(b=2,7,10,16 .\) Im 16-adischen System (= Hexadezimalsystem) verwende man als Ziffern \(\mathrm{A}=10, \mathrm{~B}=11, \ldots, \mathrm{F}=15\).

Man zeige: Jede reelle Zahl \(x\) mit \(|x| \leqslant \frac{1}{2}\) läßt sich schreiben als \(x=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\varepsilon_{k}}{3^{k}}\) mit \(\quad \varepsilon_{k} \in\\{-1,0,1\\} \quad\) für alle \(k \in \mathbb{N}\).

Gegeben seinen zwei (unendliche) Dezimalbrüche $$ \begin{aligned} &0 . a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} \ldots \\ &0 . b_{1} b_{2} b_{3} b_{4} \ldots, \end{aligned} $$ die gegen dieselbe Zahl \(x \in \mathbb{R}\) konvergieren. Man zeige: Entweder gilt \(a_{n}=b_{n}\) für alle \(n \geqslant 1\) oder es existiert eine natürliche Zahl \(k \geqslant 1\), so dass (nach evtl. Vertauschung der Rollen von \(a\) und \(b\) ) gilt: $$ \begin{cases}a_{n}=b_{n} & \text { für alle } nk \\ b_{n}=9 & \text { für alle } n>k\end{cases}. $$

Sei \(\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) eine reelle Zahlenfolge mit \(\left|x_{n}-x_{n+1}\right| \leqslant 2^{-n}\) für alle \(n \in \mathbb{N}\). Man zeige: \(\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) ist eine Cauchy-Folge.

Man beweise: Jede Folge reeller Zahlen enthält eine monotone (wachsende oder fallende) Teilfolge.

Man zeige: Eine Zahlenfolge \(\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) konvergiert genau dann, wenn die drei Teilfolgen $$ \left(a_{2 k}\right)_{k \in \mathbb{N}},\left(a_{2 k+1}\right)_{k \in \mathbb{N}},\left(a_{3 k}\right)_{k \in \mathbb{N}} $$ konvergieren.

Sei \(x\) eine vorgegebene reelle Zahl. Die Folge \(\left(a_{n}(x)\right)_{n \in \mathbb{N}}\) sei definiert durch $$ a_{n}(x):=n x-\lfloor n x\rfloor \quad \text { für alle } x \in \mathbb{R} \text { und alle } n \in \mathbb{N} $$ Man beweise: Ist \(x\) rational, so hat die Folge nur endlich viele Häufungspunkte; ist \(x\) irrational, so ist jede reelle Zahl \(a\) mit \(0 \leqslant a \leqslant 1\) Häufungspunkt der Folge \(\left(a_{n}(x)\right)_{n \in \mathbb{N}}\)