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Seien \(n, k\) natürliche Zahlen mit \(n \geqslant k .\) Man beweise $$ \left(\begin{array}{l} n+1 \\ k+1 \end{array}\right)=\sum_{m=k}^{n}\left(\begin{array}{l} m \\ k \end{array}\right) $$

Für eine reelle Zahl \(x\) und eine natürliche Zahl \(k\) werde definiert \(\left(\begin{array}{l}x \\ k\end{array}\right):=\prod_{j=1}^{k} \frac{x-j+1}{j}=\frac{x(x-1) \cdot \ldots \cdot(x-k+1)}{k !}\) $$ \left(\begin{array}{l} x \\ 0 \end{array}\right)=1 $$Für eine reelle Zahl \(x\) und eine natürliche Zahl \(k\) werde definiert \(\left(\begin{array}{l}x \\ k\end{array}\right):=\prod_{j=1}^{k} \frac{x-j+1}{j}=\frac{x(x-1) \cdot \ldots \cdot(x-k+1)}{k !}\) $$ \left(\begin{array}{l} x \\ 0 \end{array}\right)=1 $$

Man beweise für alle reellen Zahlen \(x, y\) und alle \(n \in \mathbb{N}\) $$ \left(\begin{array}{c} x+y+n-1 \\ n \end{array}\right)=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} x+n-k-1 \\ n-k \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} y+k-1 \\ k \end{array}\right) $$

Man zeige: Für alle \(n \in \mathbb{N}\) gilt $$ \left(\begin{array}{c} 2 n \\ n \end{array}\right)=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right)^{2} $$

a) \(\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}2 n \\ 2 k\end{array}\right)=2^{2 n-1}\). b) \(\quad \sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c}2 n+1 \\ 2 k\end{array}\right)=2^{2 n}\)

a) \(\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}2 n \\ 2 k\end{array}\right)=2^{2 n-1}\). b) \(\quad \sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c}2 n+1 \\ 2 k\end{array}\right)=2^{2 n}\)

Ausdrücke und beweise anschließend das Ergebnis durch vollständige Induktion: a) \(\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{1}{k}\right)\), b) \(\prod_{n=2}^{N} \frac{n^{2}}{n^{2}-1}\) für alle \(N \geqslant 2\).

a) \(\sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\), b) \(\sum_{k=1}^{n} k^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}\).

Man finde eine Formel für $$ \sum_{k=1}^{n}(2 k-1)^{2} $$

Sei \(r \in \mathbb{N}\). Man zeige: Es gibt rationale Zahlen \(a_{r 1}, \ldots, a_{r r}\), so ürlichen Zahlen \(n\) gilt $$ \sum_{k=1}^{n} k^{r}=\frac{1}{r+1} n^{r+1}+a_{r r} n^{r}+\ldots+a_{r 1} n $$