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Chapter 39: Problem 6

Die Dauer \(X\) eines Gespr盲chs sei exponentialverteilt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein gerade begonnenes Gespr盲ch mindestens 10 Minuten andauert, sei \(0.5\). Ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass ein bereits 30 Minuten andauerndes Gespr盲ch mindestens noch weitere 10 Minuten andauert, kleiner als \(0.5\) ?

Short Answer

Expert verified
Answer: No, the probability is not less than 0.5. It is equal to 0.5.

Step by step solution

01

Understand the given information

The duration of a conversation, \(X\), is exponentially distributed. The probability that a conversation just started will last at least 10 minutes is given: \(P(X \ge 10) = 0.5\).
02

Determine the parameter of the exponential distribution

The probability density function (pdf) of an exponential distribution is given by: \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\), for \(x \ge 0\) The cumulative distribution function (CDF) is given by: \(F(x) = 1- e^{-\lambda x}\), for \(x \ge 0\) We need to find the parameter \(\lambda\) of the distribution using the given probability, \(P(X \ge 10) = 0.5\). Using the CDF: \(P(X \ge 10) = 1 - P(X < 10) = 1 - F(10) = 0.5 \) So, \(F(10) = 1 - 0.5 = 0.5 \) Now we can solve for \(\lambda\): \(0.5 = 1 - e^{-\lambda(10)}\) \(e^{-10\lambda} = 0.5\) \(\lambda = -\frac{1}{10}\ln(0.5)\)
03

Calculate the required probability using memoryless property

The memoryless property of the exponential distribution states that for \(s, t \ge 0\), \(P(X \ge s + t | X \ge s) = P(X \ge t)\) In our case, we need to find the probability that a conversation already lasting 30 minutes will continue for at least 10 more minutes, which can be written as: \(P(X \ge 30 + 10 | X \ge 30) = P(X \ge 10)\) As we already found that \(P(X \ge 10) = 0.5\), the required probability is 0.5.
04

Comparing the probabilities

We wanted to know if the probability of a conversation already lasting 30 minutes continuing for at least 10 more minutes was less than 0.5. We found that this probability is equal to 0.5 using the memoryless property of the exponential distribution. Thus, it is not less than 0.5.

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