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Chapter 39: Problem 2

In einer Stadt gibt es ein gro脽es und ein kleines Krankenhaus. Im kleinen Krankenhaus \(K\) werden im Schnitt jeden Tag 15 Kinder geboren. Im gro脽en Krankenhaus \(G\) sind es t盲glich 45 Kinder. Im Jahr 2006 wurden in beiden Krankenh盲usern die Tage gez盲hlt, an denen mindestens \(60 \%\) der Kinder m盲nnlich waren. Es stellte sich heraus, dass im kleinen Krankenhaus rund dreimal so h盲ufig ein Jungen眉berschuss festgestellt wurde wie am gro脽en Krankenhaus. Ist dies Zufall? Berechnen Sie die relevanten Wahrscheinlichkeiten, wobei Sie \(\mathrm{P}(\) Junge \()=\mathrm{P}(\) M盲dchen \()=0.5\) unterstellen sollen.

Short Answer

Expert verified
Short Answer: To determine if it is a coincidence, calculate the probabilities of at least 60% male births in both hospitals using the binomial distribution and compare the ratios. If the calculated ratio is approximately equal to 3:1, we can conclude that the observation is not just a coincidence.

Step by step solution

01

Determine the binomial distribution for each hospital

Using the given probabilities, we can model the number of male births in each hospital as a binomial distribution. For a binomial distribution with n trials and probability p, the probability of having exactly k successes is given by: \(P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{(n-k)}\). In our case, for both hospitals, p = 0.5 and the number of trials (n) for hospital K and G are 15 and 45, respectively.
02

Calculate the cumulative probability of at least 60% male births

To find the probability of at least 60% male births in each hospital, we need to calculate the cumulative probability from k = 0.6n to n. For hospital K, n = 15, so 0.6 x 15 = 9. For hospital G, n = 45, so 0.6 x 45 = 27. We'll use the formula for the binomial distribution from Step 1 to calculate the probabilities at each value of k and add them up to find the cumulative probability.
03

Calculate the probabilities for each hospital

Using the binomial distribution formula, we can now calculate the probabilities for both hospitals K and G. For hospital K, we need to sum the probabilities from k = 9 to k = 15: \(P(\text{at least 60\% male births at K}) = \sum_{k=9}^{15} \binom{15}{k} (0.5)^k (0.5)^{(15-k)}\) For hospital G, we need to sum the probabilities from k = 27 to k = 45: \(P(\text{at least 60\% male births at G}) = \sum_{k=27}^{45} \binom{45}{k} (0.5)^k (0.5)^{(45-k)}\)
04

Compare probabilities

Calculate the probabilities from Step 3 and compare them to see if the ratio of the probabilities matches the given observation that hospital K has three times more days with at least 60% male births than hospital G. If the calculated ratio is approximately equal to 3:1, we can conclude that the observation is not just a coincidence.

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