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Chapter 39: Problem 7

Wegen eines Streikes fahren die Busse nicht mehr nach Fahrplan. Die Anzahl der Wartenden an einer Bushaltestelle ist ein Indikator f眉r die seit Abfahrt des letzten Busses verstrichene Zeit. Sie wissen, je mehr Wartende an der Bushaltestelle stehen, um so wahrscheinlicher ist die Ankunft des n盲chsten Busses. Kann dann die Wartezeit exponential verteilt sein?

Short Answer

Expert verified
Answer: No, the waiting time for the next bus cannot be exponentially distributed because the probability of bus arrival depends on the time that has passed since the departure of the last bus, which does not follow the memoryless property of the exponential distribution.

Step by step solution

01

Understand Exponential Distribution

The exponential distribution is a continuous probability distribution that models the time between occurrences in a Poisson point process (e.g., the time between phone calls at a call center). The main feature of an exponential distribution is that it is memoryless, meaning the probability of an event occurring in the future is independent of the time that has passed since the last event.
02

Analyze Given Situation

In this problem, the number of people waiting at the bus stop increases as more time passes since the departure of the last bus. This situation indicates that the probability of the arrival of the next bus is dependent on the time that has passed since the departure of the last bus. As more people are waiting, it gets more likely that the bus will arrive soon.
03

Compare Exponential Distribution to the Given Situation

The exponential distribution is memoryless, which means that the probability of an event occurring does not depend on the time that has passed. However, in the given problem, the probability of the bus arriving depends on the time that has passed since the departure of the last bus, as indicated by the increasing number of people waiting at the bus stop.
04

Conclusion

Since the probability of bus arrival in the given situation depends on the elapsed time since the last bus, it does not follow the memoryless property of the exponential distribution. Therefore, the waiting time for the next bus cannot be exponentially distributed.

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In Simulationsstudien werden h盲ufig standardnormalverteilte Zufallszahlen ben枚tigt. Prim盲r stehen jedoch nur gleichverteilte Zufallszahlen, d. h. Realisationen unabh盲ngiger, 眉ber dem Intervall \([0,1]\) gleichverteilte Zufallsvariablen zur Verf眉gung. Aus je 12 dieser gleichverteilten Zufallsvariablen \(X_{1}, X_{2}, \ldots X_{12}\), erzeugt man eine Zufallszahl \(Y\) folgenderma脽en $$ Y=\sum_{i=1}^{12} X_{i}-6 $$ Dann ist \(Y\) approximativ standardnormalverteilt. Warum?

Beantworten Sie die folgenden Fragen. 脺berlegen Sie sich eine kurze Begr眉ndung. (a) Es sei \(X\) eine stetige zuf盲llige Variable. \(g(x)\) sei eine stetige Funktion. Ist dann auch \(Y=g(X)\) eine stetige zuf盲llige Variable? (b) Darf die Dichte einer stetigen Zufallsvariablen gr枚脽er als eins sein? (c) Darf die Dichte einer Zufallsvariablen Spr眉nge aufweisen? (d) Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen \(X\) sei bis auf endlich viele Spr眉nge differenzierbar. Ist \(X\) dann stetig? (e) Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen \(X\) sei stetig. Ist \(X\) dann stetig? (f) Die Durchmesser von gesiebten Sandk枚rnern seien innerhalb der Siebmaschenweite ann盲hernd gleichverteilt. Ist dann auch das Gewicht der K枚rner gleichverteilt? (g) Es seien \(X\) und \(Y\) unabh盲ngig voneinander gemeinsam normalverteilt. Welche der folgenden Terme sind dann ebenfalls normalverteilt? $$ a+b X ; X+Y ; X-Y ; X \cdot Y ; \frac{X}{Y} ; X^{2} ; X^{2}+Y^{2} $$

Es seien \(\boldsymbol{U}\) und \(\boldsymbol{V}\) unkorrelierte normalverteilte Variable, die lineare Funktionen einer 眉bergeordneten normalverteilte Variable \(\boldsymbol{Y}\) sind: $$ \boldsymbol{Y} \sim \mathrm{N}_{n}(\mathbf{0} ; \boldsymbol{C}) ; \quad \boldsymbol{U}=\boldsymbol{A Y} ; \quad \boldsymbol{V}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{Y} $$ $$ \text { sowie } \operatorname{Cov}(\boldsymbol{U} ; \boldsymbol{V})=\mathbf{0} \text {. } $$ Dann sind \(\boldsymbol{U}\) und \(\boldsymbol{V}\) stochastisch unabh盲ngig. Beweisen Sie diese Aussage f眉r den Spezialfall, dass \(\operatorname{Cov}(\boldsymbol{U})\) und \(\operatorname{Cov}(\boldsymbol{V})\) invertierbar sind.

Die Dauer \(X\) eines Gespr盲chs sei exponentialverteilt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein gerade begonnenes Gespr盲ch mindestens 10 Minuten andauert, sei \(0.5\). Ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass ein bereits 30 Minuten andauerndes Gespr盲ch mindestens noch weitere 10 Minuten andauert, kleiner als \(0.5\) ?

Sie ziehen ohne Zur眉cklegen aus einer Urne mit roten und anders farbigen Kugeln. Es sei \(X_{i}\) die Indikatorvariable f眉r Rot im \(i\)-ten Zug und \(X=\sum X_{i}\) die Anzahl der gezogenen roten Kugeln. Welche der folgenden 4 Aussagen ist richtig? Die \(X_{i}\) sind (a) unabh盲ngig voneinander, identisch verteilt, (b) unabh盲ngig voneinander, nicht identisch verteilt, (c) abh盲ngig voneinander, identisch verteilt, (d) abh盲ngig voneinander, nicht identisch verteilt.
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