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Zeige: $$ \begin{gathered} \operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{array}\right)=(x-1)^{2}(x+2), \\ \operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} a^{2}+1 & a b & a c \\ a b & b^{2}+1 & b c \\ a c & b c & c^{2}+1 \end{array}\right)=a^{2}+b^{2}+c^{2}+1. \end{gathered} $$

Beweise mit Induktion nach \(n, \mathrm{da} \beta\) für die Vandermonde- Determinante gilt: $$ \operatorname{det}\left(\begin{array}{cccc} 1 & x_{1} & \cdots & x_{1}^{n-1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & x_{n} & \cdots & x_{n}^{n-1} \end{array}\right)=\prod_{1 \leq i