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G. Zeigen Sie: (a) Es ist \(U_{1} \cup U_{2}\) genau dann eine Untergruppe von \(G\), wenn \(U_{1} \subseteq U_{2}\) oder \(U_{2} \subseteq U_{1}\) gilt. (b) Aus \(U_{1} \neq G\) und \(U_{2} \neq G\) folgt \(U_{1} \cup U_{2} \neq G\). (c) Geben Sie ein Beispiel für eine Gruppe \(G\) und Untergruppen \(U_{1}, U_{2}\) an, sodass \(U_{1} \cup U_{2}\) keine Untergruppe von \(G\) ist.

(a) Ist die Identität Id der einzige Automorphismus von \(G\), so ist \(G\) abelsch. (b) Ist \(a \mapsto a^{2}\) ein Homomorphismus von \(G\), so ist \(G\) abelsch. (c) Ist \(a \mapsto a^{-1}\) ein Automorphismus von \(G\), so ist \(G\) abelsch.

Es sei \(R\) ein kommutativer Ring mit \(1 .\) Zeigen ie Menge \(R[[X]]=\left\\{P \mid P: \mathbb{N}_{0} \rightarrow R\right\\}\) mit den

ein kommutativer Erweiterungsring mit 1 von \(R[X]\) ist \(-\) der Ring der formalen Potenzreihen oder kürzer Potenzreihenring über \(R\). Wir schreiben \(P=\sum_{i \in \mathbb{N}_{0}} a_{i} X^{i}\) oder \(\sum_{i=0}^{\infty} a_{i} X^{i}\) (also \(P(i)=a_{i}\) ) für \(P \in R[[X]]\) und nennen die Elemente aus \(R[[X]]\) Potenzreihen. Zeigen Sie außer- \(-\) dem: (a) \(R[[X]]\) ist genau dann ein Integritätsbereich, wenn \(R\) ein Integritätsbereich ist. (b) Eine Potenzreihe \(P=\sum_{i \in \mathbb{N}_{0}} a_{i} X^{i} \in R[[X]]\) ist genau dann invertierbar, wenn \(a_{0}\) in \(R\) invertierbar ist. (c) Bestimmen Sie in \(R[[X]]\) das Inverse von \(1-X\) und \(1-X^{2}\)