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Handelt es sich bei den folgenden, für \(z \in \mathbb{C}\) definierten Reihen um Potenzreihen? Falls ja, wie lautet die Koeffizientenfolge und wie der Entwicklungspunkt? (a) \(\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n}}{n !} \frac{1}{z^{n}}\right)\) (b) \(\left(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n(z-1)^{n}}{z^{2}}\right)\) (c) \(\left(\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{n} \frac{1}{n !}\left(\begin{array}{l}n \\ j\end{array}\right) z^{j}\right)\) (d) \(\left(\sum_{n=0}^{\infty} z^{2 n} \cos z\right)\)

Welche der folgenden Aussagen über eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt \(z_{0} \in \mathbb{C}\) und Konvergenzradius \(\rho\) sind richtig? (a) Die Potenzreihe konvergiert für alle \(z \in C\) mit \(\left|z-z_{0}\right|<\rho\) absolut. (b) Durch die Potenzreihe ist auf dem Konvergenzkreis eine, beschränkte Funktion gegeben. (c) Durch die Potenzreihe ist auf jedem Kreis mit Mittelpunkt \(z_{0}\) und Radius \(r<\rho\) eine beschränkte Funktion gegeben. (d) Die Potenzreihe konvergiert für kein \(z \in \mathbb{C}\) mit \(\left|z-z_{0}\right|=\rho .\) (e) Konvergiert die Potenzreihe für ein \(\hat{z} \in \mathbb{C}\) mit \(\left|\hat{z}-z_{0}\right|=\rho\) absolut, so gilt dies für alle \(z \in \mathbb{C}\) mit \(\left|z-z_{0}\right|=\rho .\)

Bestimmen Sie mithilfe der zugehörigen Potenzreihen die folgenden Grenzwerte: (a) \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x \sin x}\), (b) \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\sin \left(x^{4}\right)}-1}{x^{2}(1-\cos (x))}\).