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Ist es möglich, eine divergente Reihe der Form $$ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n} $$ zu konstruieren, wobei alle \(a_{n}>0\) sind und \(a_{n} \rightarrow 0\) gilt. Beispiel oder Gegenbeweis angeben.

e.e Welche Teilmenge von \(\mathbb{R}\) wird dadurch charakterisiert, dass ihre Elemente \(g\)-adische Entwicklungen haben, die ab irgendeinem Index \(m\) periodisch sind (d.h. es gilt \(a_{j+t}=a_{j}\) für ein \(k \in \mathbb{N}\) und alle \(j \geq m\) in ciner Entwicklung \(\left.\left(\sum_{j=1}^{\infty} a_{j} g^{-j}\right)\right) ?\)

Kann man die Reihe $$ \left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\right) $$ so umordnen, dass die umgeordnete Reihe divergiert?

Zeigen Sie dass, dass die Reihe $$ \left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}\right) $$ zwar konvergiert, ihr Cauchy-Produkt mit sich selbst allerdings divergiert. Warum ist das möglich?

Sind die folgenden Reihen konvergent? (a) \(\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+n^{2}}\right)\) (b) \(\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{n^{3}}\right)\) (c) \(\left(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left[e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]\right)\)

Zeigen Sie, dass die folgenden Reihen konvergieren und berechnen Sie ihren Wert: (a) \(\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\right)\) (b) \(\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3+4 \mathrm{i}}{6}\right)^{n}\right)\)

Zeigen Sie, dass die folgenden Reihen absolut konvergieren: (a) \(\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+(-1)^{n}}{2^{n-1}}\right)\) (b) \(\left(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)\) (c) \(\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left(\begin{array}{l}4 n \\ 3 n\end{array}\right)^{-1}\right)\)

Untersuchen Sie die Reihe $$ \left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot(2 n+3)}{n !}\right) $$ auf Konvergenz.

Stellen Sie fest, ob die folgenden Reihen konvergieren. (a) \(\left(\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k(\ln k)^{\alpha}}\right), \quad \alpha>0\) (b) \(\left(\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln k)^{\ln k}}\right)\)

Stellen Sie fest, ob die folgenden Reihen divergieren, konvergieren oder sogar absolut konvergieren: (a) \(\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left(\begin{array}{c}2 n \\\ n\end{array}\right) 2^{-3 n-1}\right)\) (b) \(\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \cdot(\sqrt{n}+1)}{n^{2}+5 n-1}\right)\) (c) \(\left(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\sin \sqrt{n}}{n^{5 / 2}}\right)\)