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\- Ein Endomorphismus \(\varphi\) eines Vektorraums \(V\) mit \(\varphi^{2}=\varphi\) heiBt Projektion. Ist \(\left\\{b_{1}, \ldots, b_{n}\right\\}\) eine Orthonormalbasis des euklidischen Vektorraums \(V=\mathbb{R}^{n}\) mit dem kanonischen Skalarprodukt :, so setzen wir \(\boldsymbol{P}_{i}=\boldsymbol{b}_{i} \boldsymbol{b}_{i}^{\top} \in \mathbb{R}^{n \times n}\) für jedes \(i \in\\{1, \ldots, n\\}\) Zeigen Sie: (a) \(\varphi_{P_{l}}^{2}=\varphi_{P_{i}}\) und (b) \(\quad \mathbf{E}_{n}=\sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{P}_{i}\). Insbesondere ist somit für jedes \(i \in\\{1, \ldots, n\\}\) die lineare Abbildung \(\varphi_{P_{i}}\) eine Projektion.

Zeigen Sie, dass eine hermitesche Matrix \(\boldsymbol{A} \in\) \(\mathbb{C}^{n \times n}\) genau dann indefinit ist, wenn sie sowohl einen positiven als auch einen negativen Eigenwert hat (Seite 694 ).

Eine Matrix \(\boldsymbol{A} \in \mathbb{K}^{n \times n}, \mathbb{K}\) ein Körper, nennt man idempotent, falls \(A^{2}=A\) gilt. Zeigen Sie: Für jede idempotente Matrix \(\boldsymbol{A} \in \mathbb{K}^{n \times n}\) gilt: $$ \mathbb{K}^{n}=\operatorname{ker} \boldsymbol{A} \oplus \text { Bild } \boldsymbol{A} $$

Zeigen Sie, dass die \(Q R\)-Zerlegung \(A=Q R\) für eine invertierbare Matrix \(\boldsymbol{A}\) eindeutig ist, wenn man fordert, dass die Diagonaleinträge von \(\boldsymbol{R}\) positiv sind.

\(\mathbf{}\) - Es sei \(U\) ein Untervektorraum eines euklidisches Vektorraums \(V\). Zeigen Sie, dass im Fall \(U=\mathbb{R} u\) mit \(\|\boldsymbol{u}\|=1\) die orthogonale Projektion \(\pi\) durch \(\pi(\boldsymbol{v})=(\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{u}) \boldsymbol{u}\), \(v \in V\), gegeben ist (Seite 675).

\(\mathbf{}\) - Zeigen Sie: Die Matrix \(\mathrm{e}^{\mathrm{i} A}\) ist unitär, falls \(A \in \mathbb{C}^{n \times n}\) hermitesch ist.

\- Zeigen Sie, dass man den Spektralsatz für einen selbstadjungierten Endomorphismen \(\varphi\) eines endlichdimensionalen \(\mathbb{R}\) - bzw. C-Vektorraums \(V\) auch wie folgt formulieren kann: Es ist \(\varphi\) eine Linearkombination der orthogonalen Projektionen auf die verschiedenen Eigenräume, wobei die Koeffizienten die Eigenwerte sind.