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A Bilden Sie die partiellen Ableitungen nach \(x, y\) und ggf. nach \(z\) von den Funktionen a) \(f(x, y)=\sin x+\cos y\) b) \(f(x, y)=x^{2} \sqrt{1-y^{2}}\) c) \(f(x, y)=e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\) d) \(f(x, y, z)=x y z+x y+z\)

B Berechnen Sie die Steigung der Tangente in \(x\) - und \(y\)-Richtung für die Fläche \(z=x^{2}+y^{2}\) im Punkt \(P=(0,1)\)

Berechnen Sie die partiellen Ableitungen \(f_{x x}, f_{x y}, f_{y x}\) und \(f_{y y}\) der Funktion $$ z=R^{2}-x^{2}-y^{2} $$

A Bestimmen Sie die Linien gleicher Höhe, die den Abstand 0,5 von der \(x-y\)-Ebene haben, für die Flächen a) \(z=\sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}}\) b) \(z=-x-2 y+2\) Geben Sie die Funktionsgleichungen der zugehörigen Höhenlinien an.

B Berechnen Sie das totale Differential für die Funktionen a) \(z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\) b) \(z=x^{2}+y^{2}\) c) \(f(x, y, z)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\)

Von den skalaren Feldern \(\varphi(x, y)\) sind der Gradient und die Höhenlinien zu berechnen. \(\varphi\) beschreibt eine Fläche. a) \(\varphi=-x-2 y+2\) b) \(\varphi=\sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}}\) c) \(\varphi=\frac{10}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\)

A Welche Form haben die Niveauflächen der skalaren Felder a) \(\varphi(x, y, z)=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}\) b) \(\varphi(x, y, z)=x^{2}+y^{2}\) c) \(\varphi(x, y, z)=x+y-3 z\) B Berechnen Sie die Gradienten für diese drei skalaren Felder.