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The Fourier series is given by:

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{n}=0}{\overset{鈭�}{鈭�}}\left[{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}\sin \left(\frac{\mathrm{苍蟺虫}}{\mathrm{a}}\right)+{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}\cos \left(\frac{\mathrm{苍蟺虫}}{\mathrm{a}}\right)\right]$

Dirichlet鈥檚 theorem is written as:

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{b}}_0+\underset{\mathrm{n}=1}{\overset{鈭�}{鈭�}}\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}}{2\mathrm{i}}\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{i苍蟺虫}/\mathrm{a}}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i苍蟺虫}/\mathrm{a}}\right)+\underset{\mathrm{n}=1}{\overset{鈭�}{鈭�}}\frac{{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}}{2}\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{i苍蟺虫}/\mathrm{a}}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i苍蟺虫}/\mathrm{a}}\right) \\ ={\mathrm{b}}_0+\underset{\mathrm{n}=1}{\overset{鈭�}{鈭�}}\left(\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}}{2\mathrm{i}}+\frac{{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}}{2}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{i苍蟺虫}/\mathrm{a}}+\underset{\mathrm{n}=1}{\overset{鈭�}{鈭�}}\left(-\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}}{2\mathrm{i}}+\frac{{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}}{2}\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i苍蟺虫}/\mathrm{a}} \end{gathered}$$

So there are two values for , one for positive n鈥檚, where the other is for negative values of n鈥檚.

$$\begin{gathered} {\mathrm{c}}_0鈮�{\mathrm{b}}_0; \\ {\mathrm{c}}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{2}\left(-{\mathrm{ia}}_{\mathrm{n}}+{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}\right),\mathrm{for}\mathrm{n}=1,2,3,...; \\ {\mathrm{c}}_{\mathrm{n}}鈮�\left({\mathrm{ia}}_{-\mathrm{n}}+{\mathrm{b}}_{-\mathrm{n}}\right),\mathrm{for}\mathrm{n}=-1,-2,-3,. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\mathrm{c}}_0鈮�{\mathrm{b}}_0; \\ {\mathrm{c}}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{2}\left(-{\mathrm{ia}}_{\mathrm{n}}+{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}\right),\mathrm{for}\mathrm{n}=1,2,3,...; \\ {\mathrm{c}}_{\mathrm{n}}鈮�\left({\mathrm{ia}}_{-\mathrm{n}}+{\mathrm{b}}_{-\mathrm{n}}\right),\mathrm{for}\mathrm{n}=-1,-2,-3,. \end{gathered}$$

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{n}=-鈭�}{\overset{鈭�}{鈭�}}{\mathrm{c}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i苍蟺虫}/\mathrm{a}}$

$$\begin{gathered} \mathrm{To}\mathrm{find}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}},\mathrm{multiply}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{by}{\mathrm{蠄}}_{\mathrm{m}}^{*}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{then}\mathrm{integrate}\mathrm{from}-\mathrm{a}\mathrm{to}\mathrm{a}. \\ {鈭�}_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{尘蟺虫}/\mathrm{a}}\mathrm{dx}=\underset{\mathrm{n}=-鈭�}{\overset{鈭�}{鈭�}}{\mathrm{c}}_{\mathrm{n}}{鈭�}_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{n}-\mathrm{m}\right)\mathrm{蟺虫}/\mathrm{a}}\mathrm{dx}, \\ {鈭�}_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{n}-\mathrm{m}\right)\mathrm{蟺虫}/\mathrm{a}}\mathrm{dx}={\overline{)\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{n}-\mathrm{m}\right)\mathrm{蟺虫}/\mathrm{a}}}{\mathrm{i}\left(\mathrm{n}-\mathrm{m}\right)\mathrm{蟺}/\mathrm{a}}}}_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}} \\ =\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{n}-\mathrm{m}\right)\mathrm{蟺}}-{\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\left(\mathrm{n}-\mathrm{m}\right)\mathrm{蟺}}}}{\mathrm{i}\left(\mathrm{n}-\mathrm{m}\right)\mathrm{蟺}/\mathrm{a}} \\ =\frac{{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}-\mathrm{m}}-{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}-\mathrm{m}}}{\mathrm{i}\left(\mathrm{n}-\mathrm{m}\right)\mathrm{蟺}/\mathrm{a}} \\ =0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{Whereas}\mathrm{for}\mathrm{n}=\mathrm{m}, \\ {鈭�}_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{n}-\mathrm{m}\right)\mathrm{蟺虫}/\mathrm{a}}\mathrm{dx}={鈭�}_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{dx}=2\mathrm{a}. \\ \mathrm{So}\mathrm{all}\mathrm{terms}\mathrm{except}\mathrm{n}=\mathrm{m}\mathrm{are}\mathrm{zero},\mathrm{and} \\ {鈭�}_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i尘蟺虫}/\mathrm{a}}=2{\mathrm{ac}}_{\mathrm{m}},\mathrm{so} \\ {\mathrm{c}}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{2\mathrm{a}}{鈭�}_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i尘蟺虫}/\mathrm{a}}\mathrm{dx}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{蟺}}}\underset{\mathrm{n}=-鈭�}{\overset{鈭�}{鈭�}}\mathrm{F}\left(\mathrm{k}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{ikx}}鈭�\mathrm{k};\mathrm{F}\left(\mathrm{k}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{蟺}}}{鈭�}_{-\mathrm{a}}^{+\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right).{\mathrm{e}}^{-\mathrm{ikx}}\mathrm{dx}. \\ \mathrm{using}\mathrm{k}=\frac{\mathrm{苍蟿蟿}}{\mathrm{a}},\mathrm{and}\mathrm{F}\left(\mathrm{k}\right)=\sqrt{\frac{2}{\mathrm{蟿蟿}}}{\mathrm{ac}}_{\mathrm{n}} \\ \mathrm{We}\mathrm{can}\mathrm{write}: \\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{n}=-鈭�}{\overset{鈭�}{鈭�}}\sqrt{\frac{\mathrm{蟺}}{2}}\frac{1}{\mathrm{a}}\mathrm{F}\left(\mathrm{k}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{ikx}} \\ =\sqrt{\frac{1}{2\mathrm{蟺}}}\underset{}{鈭�}\mathrm{F}\left(\mathrm{k}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{ikx}}鈭�\mathrm{k} \\ \mathrm{Where}鈭�\mathrm{k}=\frac{\mathrm{蟿蟿}}{\mathrm{a}}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{increment}\mathrm{in}\mathrm{k}\mathrm{from}\mathrm{n}\mathrm{to}\left(\mathrm{n}+1\right) \\ \mathrm{F}\left(\mathrm{k}\right)\sqrt{\frac{2}{\mathrm{蟺}}}\mathrm{a}\frac{1}{2\mathrm{a}}{鈭�}_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{ikx}}\mathrm{dx}=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{蟺}}}{鈭�}_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{ikx}}\mathrm{dx} \end{gathered}$$

As a 鈫� 鈭�, k becomes a continuous variable, and the sum becomes an integration, therefore,

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{蟺}}}{鈭�}_{-鈭�}^{鈭�}\mathrm{F}\left(\mathrm{k}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{ikx}}\mathrm{dk};$

For F (k) the limits of the integration will change,

$\mathrm{f}\left(\mathrm{k}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{蟺}}}{鈭�}_{-鈭�}^{鈭�}f\left(x\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{ikx}}dx;$