91Ó°ÊÓ

A mathematical quantity that describes the flow of probability is the probability current. If one imagines probability as a heterogeneous fluid, the probability current is the rate at which the fluid flows. It's a real-world vector that moves through space and time.

(a)

The probability current is,

$\mathrm{J}=\frac{\mathrm{i}\sout{\mathrm{h}}}{2\mathrm{m}}\left(\mathrm{ψ}∇{\mathrm{ψ}}^{*}-{\mathrm{ψ}}^{*}∇\mathrm{ψ}\right)$

Show that $J$satisfies the continuity equation

role="math" localid="1656046663375" $$\begin{gathered} ∇.\mathrm{J}=\frac{\mathrm{i}\sout{\mathrm{h}}}{2\mathrm{m}}\left[∇\mathrm{ψ}.∇{\mathrm{ψ}}^{*}+\mathrm{ψ}\left({∇}^2{\mathrm{ψ}}^{*}\right)-∇{\mathrm{ψ}}^{*}.∇\mathrm{ψ}-{\mathrm{ψ}}^{*}\left({∇}^2\mathrm{ψ}\right)\right] \\ =\frac{\mathrm{i}\sout{\mathrm{h}}}{2\mathrm{m}}\left[\mathrm{ψ}\left({∇}^2{\mathrm{ψ}}^{*}\right)-{\mathrm{ψ}}^{*}\left({∇}^2\mathrm{ψ}\right)\right] \\ \mathrm{Consider}\mathrm{the}\mathrm{Schrodinger}’\mathrm{s}\mathrm{equation}, \\ \mathrm{i}\sout{\mathrm{h}}\frac{∂\mathrm{ψ}}{∂\mathrm{t}}=\frac{-\sout{\mathrm{h}}}{2\mathrm{m}}{∇}^2\mathrm{ψ}+\mathrm{³Õψ} \\ ⇒{∇}^2\mathrm{ψ}=\left(\mathrm{³Õψ}-\mathrm{i}\sout{\mathrm{h}}\frac{∂\mathrm{ψ}}{∂\mathrm{t}}\right)\frac{2\mathrm{m}}{\sout{{\mathrm{h}}^2}} \\ ⇒{∇}^2{\mathrm{ψ}}^{*}=\left({\mathrm{³Õψ}}^{*}-\mathrm{i}\sout{\mathrm{h}}\frac{∂{\mathrm{ψ}}^{*}}{∂\mathrm{t}}\right)\frac{2\mathrm{m}}{\sout{{\mathrm{h}}^2}} \\ ⇒∇.\mathrm{J}=\frac{\mathrm{i}\sout{\mathrm{h}}}{2\mathrm{m}}.\frac{2\mathrm{m}}{\sout{{\mathrm{h}}^2}}\left[\mathrm{ψ}\left({\mathrm{³Õψ}}^{*}+\mathrm{i}\sout{\mathrm{h}}\frac{∂{\mathrm{ψ}}^{*}}{∂\mathrm{t}}\right)-{\mathrm{ψ}}^{*}\left(\mathrm{³Õψ}-\mathrm{i}\sout{\mathrm{h}}\frac{∂\mathrm{ψ}}{∂\mathrm{t}}\right)\right] \\ =\left(\frac{\mathrm{i}}{\sout{\mathrm{h}}}\right)\mathrm{i}\sout{\mathrm{h}}\left(\mathrm{ψ}\frac{∂{\mathrm{ψ}}^{*}}{∂\mathrm{t}}+{\mathrm{ψ}}^{*}\frac{∂\mathrm{ψ}}{∂\mathrm{t}}\right) \\ =-\frac{∂}{∂\mathrm{t}}\left({\mathrm{ψ}}^{*}\mathrm{ψ}\right) \\ ⇒∇.\mathrm{J}=-\frac{∂}{∂\mathrm{t}}{\left|\mathrm{ψ}\right|}^2 \end{gathered}$$

Hence, J satisfies the continuity equation.

(b)

At time $t$, the wave function for the hydrogen atom is $$\begin{gathered} {\mathrm{ψ}}_{\mathrm{mim}}={\mathrm{R}}_{\mathrm{nl}}\left(\mathrm{r}\right){\mathrm{Y}}_{\mathrm{l}}^{\mathrm{m}}\left(\mathrm{θ},\mathrm{Ï•}\right){\mathrm{e}}^{\frac{{\mathrm{iE}}_{\mathrm{n}}\mathrm{t}}{\sout{\mathrm{h}}}} \\ ⇒{\mathrm{ψ}}_{211}={\mathrm{R}}_{21}\left(\mathrm{r}\right){\mathrm{Y}}_1^1\left(\mathrm{θ},\mathrm{Ï•}\right){\mathrm{e}}^{\frac{{\mathrm{iE}}_{\mathrm{n}}\mathrm{t}}{\sout{\mathrm{h}}}} \\ \mathrm{Now},\mathrm{apply}, \\ {\mathrm{R}}_{21}\left(\mathrm{r}\right)=\frac{1}{\sqrt{24}}{\mathrm{a}}^{\frac{3}{2}}\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{a}}\exp \left(\frac{-\mathrm{r}}{2\mathrm{a}}\right) \\ \mathrm{Also}, \\ {\mathrm{Y}}_1^1\left(\mathrm{θ},\mathrm{Ï•}\right)=-\sqrt{\frac{3}{8\mathrm{Ï€}}}{\mathrm{²õ¾\pm ²Ôθe}}^{\mathrm{¾\pm Ï•}} \\ ⇒{\mathrm{ψ}}_{211}=-\frac{1}{\sqrt{\mathrm{Ï€²¹}}}.\frac{1}{8{\mathrm{a}}^2}{\mathrm{re}}^{\frac{-\mathrm{r}}{2\mathrm{a}}}{\mathrm{²õ¾\pm ²Ôθe}}^{\mathrm{¾\pm Ï•}}{\mathrm{e}}^{\frac{-{\mathrm{iE}}_2\mathrm{t}}{\sout{\mathrm{h}}}} \\ \mathrm{For}\mathrm{spherical}\mathrm{coordinates}, \\ ∇\mathrm{ψ}=\frac{∂\mathrm{ψ}}{∂\mathrm{r}}\hat{\mathrm{r}}+\frac{1}{\mathrm{r}}\frac{∂\mathrm{ψ}}{∂\mathrm{θ}}\widehat{\mathrm{θ}}+\frac{1}{\mathrm{r}\mathrm{²õ¾\pm ²Ôθ}}.\frac{∂\mathrm{ψ}}{∂\mathrm{Ï•}}\widehat{\mathrm{Ï•}} \\ ∇{\mathrm{ψ}}_{211}=\frac{-1}{\sqrt{\mathrm{Ï€²¹}}}\frac{1}{8{\mathrm{a}}^2}\left[\begin{array}{c}\left(1-\frac{\mathrm{r}}{2\mathrm{a}}\right){\mathrm{e}}^{\frac{-\mathrm{r}}{2\mathrm{a}}}{\mathrm{²õ¾\pm ²Ôθe}}^{\mathrm{¾\pm Ï•}}{\mathrm{e}}^{\frac{-{\mathrm{iE}}_2\mathrm{t}}{\sout{\mathrm{h}}}}\hat{\mathrm{r}}+\frac{1}{\mathrm{r}}{\mathrm{re}}^{\frac{-\mathrm{r}}{2\mathrm{a}}}{\mathrm{³¦´Ç²õθ\pm ð}}^{\mathrm{¾\pm Ï•}}{\mathrm{e}}^{\frac{-{\mathrm{iE}}_2\mathrm{t}}{\sout{\mathrm{h}}}\widehat{\mathrm{θ}}}\\ +\frac{1}{\mathrm{r}\mathrm{²õ¾\pm ²Ôθ}}{\mathrm{re}}^{\frac{-\mathrm{r}}{2\mathrm{a}}}{\mathrm{²õ¾\pm ²Ôθie}}^{\mathrm{¾\pm Ï•}}.{\mathrm{e}}^{\frac{-{\mathrm{iE}}_2\mathrm{t}}{\mathrm{h}}}\mathrm{Ï•}\end{array}\right] \\ =\left[\left(1-\frac{\mathrm{r}}{2\mathrm{a}}\right)\hat{\mathrm{r}}+\mathrm{³¦´Ç²õθ}\widehat{\mathrm{θ}}+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{²õ¾\pm ²Ôθ}}\mathrm{Ï•}\right]\frac{1}{\mathrm{r}}{\mathrm{ψ}}_{211} \\ \mathrm{Replace}\mathrm{i}\mathrm{by}-\mathrm{i}\mathrm{to}\mathrm{get}∇{{\mathrm{ψ}}^{*}}_{211}, \\ ⇒∇{\mathrm{ψ}}_{211}^{*}=\left[\left(1-\frac{\mathrm{r}}{2\mathrm{a}}\right)\hat{\mathrm{r}}+\mathrm{³¦´Ç²õθ}\widehat{\mathrm{θ}}-\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{²õ¾\pm ²Ôθ}}\mathrm{Ï•}\right]\frac{1}{\mathrm{r}}{\mathrm{ψ}}_{211}^{*} \\ \mathrm{Substitute}\mathrm{the}\mathrm{two}\mathrm{expressions}\mathrm{into}\mathrm{the}\mathrm{equation}\mathrm{for}\mathrm{J}, \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} J=\frac{\mathrm{i}\sout{\mathrm{h}}}{2\mathrm{m}}\left\{{\mathrm{ψ}}_{211}\left[\left(1-\frac{\mathrm{r}}{2\mathrm{a}}\right)\hat{\mathrm{r}}+\mathrm{³¦´Ç²õθ}\widehat{\mathrm{θ}}-\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{²õ¾\pm ²Ôθ}}\widehat{\mathrm{Ï•}}\right]\frac{1}{\mathrm{r}}{\mathrm{ψ}}_{211}^{*}\right]-{\mathrm{ψ}}_{211}^{*}\left[\left(1-\frac{\mathrm{r}}{2\mathrm{a}}\right)\hat{\mathrm{r}}+\mathrm{³¦´Ç²õθ}\widehat{\mathrm{θ}}\right]\frac{1}{\mathrm{r}}{\mathrm{ψ}}_{211} \\ =\frac{\mathrm{i}\sout{\mathrm{h}}}{2\mathrm{m}}\left[\left(1-\frac{\mathrm{r}}{2\mathrm{a}}\right)\hat{\mathrm{r}}+\mathrm{³¦´Ç²õθ}\widehat{\mathrm{θ}}-\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{²õ¾\pm ²Ôθ}}\mathrm{Ï•}-\left(1-\frac{\mathrm{r}}{2\mathrm{a}}\right)\hat{\mathrm{r}}-\mathrm{³¦´Ç²õθ}\widehat{\mathrm{θ}}\frac{1}{\mathrm{²õ¾\pm ²Ôθ}}\widehat{\mathrm{Ï•}}\right]\frac{1}{\mathrm{r}}{\left|{\mathrm{ψ}}_{211}\right|}^2 \\ =\frac{\mathrm{i}\sout{\mathrm{h}}}{2\mathrm{m}}\frac{\left(-2\mathrm{i}\right)}{\mathrm{r}\mathrm{²õ¾\pm ²Ôθ}}{\left|{\mathrm{ψ}}_{211}\right|}^2\widehat{\mathrm{Ï•}} \\ =\frac{\sout{\mathrm{h}}}{\mathrm{m}}\frac{1}{\mathrm{Ï€²¹}}\frac{1}{64{\mathrm{a}}^4}\frac{{\mathrm{r}}^2{\mathrm{e}}^{{\displaystyle \frac{-\mathrm{r}}{\mathrm{a}}}}{\sin }^2\mathrm{θ}}{\mathrm{r}\sin \mathrm{θ}}\mathrm{Ï•} \\ =\frac{\sout{\mathrm{h}}}{64{\mathrm{Ï€³¾²¹}}^5}{\mathrm{re}}^{\frac{-\mathrm{r}}{\mathrm{a}}}\mathrm{²õ¾\pm ²Ôθ}\widehat{\mathrm{Ï•}} \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{J}\mathrm{is}\frac{\sout{\mathrm{h}}}{64{\mathrm{Ï€³¾²¹}}^5}{\mathrm{re}}^{-\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{a}}}\mathrm{²õ¾\pm ²Ôθ}\widehat{\mathrm{Ï•}.} \end{gathered}$$

(c) The value of J from part (b),

$$\begin{gathered} \overline{\mathrm{J}}=\frac{\sout{\mathrm{h}}}{64{\mathrm{Ï€³¾²¹}}^5}{\mathrm{re}}^{\frac{-\mathrm{r}}{\mathrm{a}}}\mathrm{²õ¾\pm ²Ôθ}\widehat{\mathrm{Ï•}} \\ \mathrm{Now}, \\ \overline{\mathrm{r}}×\stackrel{¯}{\mathrm{J}}=\frac{\sout{\mathrm{h}}}{64{\mathrm{Ï€³¾²¹}}^5}{\mathrm{re}}^{\frac{-\mathrm{r}}{\mathrm{a}}}\mathrm{²õ¾\pm ²Ôθ}\left(\hat{\mathrm{r}}×\widehat{\mathrm{Ï•}}\right) \\ \mathrm{Consider},\hat{\mathrm{r}}×\widehat{\mathrm{Ï•}}=-\widehat{\mathrm{θ}} \\ \mathrm{And}\hat{\mathrm{z}}.\widehat{\mathrm{θ}}=-\sin \mathrm{θ} \\ \mathrm{So},{\left(\overline{\mathrm{r}}×\stackrel{¯}{\mathrm{J}}\right)}_{\mathrm{z}}=\frac{\sout{\mathrm{h}}}{64{\mathrm{Ï€³¾²¹}}^5}{\mathrm{r}}^2{\mathrm{e}}^{\frac{-\mathrm{r}}{\mathrm{a}}}{\sin }^2\mathrm{θ} \\ \mathrm{As}, \\ {\mathrm{L}}_{\mathrm{z}}=\mathrm{m}∫{\left(\overline{\mathrm{r}}×\stackrel{¯}{\mathrm{J}}\right)}_{\mathrm{z}}{\mathrm{d}}^3\mathrm{r} \\ {\mathrm{L}}_{\mathrm{z}}=\mathrm{m}\frac{\sout{\mathrm{h}}}{64{\mathrm{Ï€³¾²¹}}^5}∫{\mathrm{r}}^2{\mathrm{e}}^{\frac{-\mathrm{r}}{\mathrm{a}}}{\sin }^2{\mathrm{θ°ù}}^2\mathrm{²õ¾\pm ²Ôθdrdθ»åÏ•} \\ =\frac{\sout{\mathrm{h}}}{64{\mathrm{Ï€³¾²¹}}^5}{∫}_0^{\mathrm{a}}{\mathrm{r}}^4{\mathrm{e}}^{\frac{-\mathrm{r}}{\mathrm{a}}}\mathrm{dr}{∫}_0^{\mathrm{Ï€}}{\sin }^3\mathrm{θ»åθ}{∫}_0^{2\mathrm{Ï€}}\mathrm{»åÏ•} \\ =\frac{\sout{\mathrm{h}}}{64{\mathrm{Ï€³¾²¹}}^5}\left(4!{\mathrm{a}}^5\right)\left(\frac{4}{3}\right)\left(2\mathrm{Ï€}\right) \\ \mathrm{Hence},\mathrm{the}\mathrm{value}{\mathrm{L}}_{\mathrm{z}}\mathrm{is}\frac{\sout{\mathrm{h}}}{64{\mathrm{Ï€²¹}}^5}\left(4!{\mathrm{a}}^5\right)\left(\frac{4}{3}\right)\left(2\mathrm{Ï€}\right). \end{gathered}$$