91Ó°ÊÓ

(1) The quantum harmonic oscillator has an energy eigenvalue of:

$\mathrm{E}=\left(\mathrm{n}+\frac{1}{2}\right)\sout{\mathrm{h}}\mathrm{Ó\neg }âˆ\P Ä\mathrm{n}∈{\mathrm{ℤ}}^{+}$

(2) The sum of consecutive number is $\underset{\mathrm{i}=1}{\overset{\mathrm{n}+1}{∑}}\mathrm{i}=\frac{\left(\mathrm{n}+1\right)\left(\mathrm{n}+2\right)}{2}=1+2+3+...+\left(\mathrm{n}+1\right)$

(3) The potential is$\mathrm{V}\left(\mathrm{r}\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{³¾Ó\neg }}^2{\mathrm{r}}^2$

(a)

Consider the formula for the potential of a three-dimensional harmonic oscillator,

The value of the potential is

$$\begin{gathered} \mathrm{V}\left(\mathrm{r}\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{³¾Ó\neg }}^2{\mathrm{r}}^2 \\ =\frac{1}{2}{\mathrm{³¾Ó\neg }}^2\left({\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{z}}^2\right) \\ =-\frac{\sout{{\mathrm{h}}^2}}{2\mathrm{m}}{∇}^2\mathrm{ψ}+\mathrm{³Õψ} \\ =\mathrm{·¡Ïˆ} \\ ⇒-\frac{\sout{{\mathrm{h}}^2}}{2\mathrm{m}}\left(\frac{{∂}^2\mathrm{ψ}}{∂{\mathrm{X}}^2}+\frac{{∂}^2\mathrm{ψ}}{∂{\mathrm{y}}^2}+\frac{{∂}^2\mathrm{ψ}}{∂{\mathrm{Z}}^2}\right)+\mathrm{³Õψ}=\mathrm{·¡Ïˆ} \\ \mathrm{The}\mathrm{variables}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{safely}\mathrm{separated}\mathrm{because}\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{and}\mathrm{z}\mathrm{do}\mathrm{not}\mathrm{depend}\mathrm{on}\mathrm{each} \\ \mathrm{other}.\mathrm{The}\mathrm{value}\mathrm{is}: \\ \mathrm{ψ}\left(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}\right)=\mathrm{X}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{Y}\left(\mathrm{y}\right)\mathrm{Z}\left(\mathrm{z}\right)⇒ \\ -\frac{\sout{{\mathrm{h}}^2}}{2\mathrm{m}}\left(\mathrm{YZ}\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{X}}{{\mathrm{dx}}^2}+\mathrm{XZ}\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{Y}}{{\mathrm{dy}}^2}+\mathrm{XY}\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{Z}}{\mathrm{dZ}}^2\right)+\mathrm{³Õψ}=\mathrm{·¡Ïˆ} \\ ⇒-\frac{\sout{{\mathrm{h}}^2}}{2\mathrm{m}}\left(\frac{1}{\mathrm{X}}\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{X}}{{\mathrm{dx}}^2}+\frac{1}{\mathrm{Y}}\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{Y}}{{\mathrm{dy}}^2}+\frac{1}{\mathrm{Z}}\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{Z}}{{\mathrm{dZ}}^2}\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{³¾Ó\neg }}^2\left({\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{z}}^2\right)=\mathrm{E}⇒ \\ \left(-\frac{\sout{{\mathrm{h}}^2}}{2\mathrm{m}}-\frac{1}{\mathrm{X}}\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{X}}{{\mathrm{dx}}^2}+\frac{1}{2}{\mathrm{³¾Ó\neg }}^2{\mathrm{x}}^2\right) \\ +\left(-\frac{\sout{{\mathrm{h}}^2}}{2\mathrm{m}}-\frac{1}{\mathrm{Y}}\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{Y}}{{\mathrm{dy}}^2}+\frac{1}{2}{\mathrm{³¾Ó\neg }}^2{\mathrm{y}}^2\right) \\ +\left(-\frac{\sout{{\mathrm{h}}^2}}{2\mathrm{m}}-\frac{1}{\mathrm{Z}}\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{Z}}{{\mathrm{dZ}}^2}+\frac{1}{2}{\mathrm{³¾Ó\neg }}^2{\mathrm{z}}^2\right)=\mathrm{E}⇒ \\ \mathrm{According}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{above}\mathrm{value}, \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} -\frac{\sout{{\mathrm{h}}^2}}{2\mathrm{m}}\frac{1}{\mathrm{X}}\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{X}}{{\mathrm{dx}}^2}+\frac{1}{2}{\mathrm{³¾Ó\neg }}^2{\mathrm{x}}^2={\mathrm{E}}_{\mathrm{x}} \\ -\frac{\sout{{\mathrm{h}}^2}}{2\mathrm{m}}\frac{1}{\mathrm{Y}}\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{Y}}{{\mathrm{dy}}^2}+\frac{1}{2}{\mathrm{³¾Ó\neg }}^2{\mathrm{y}}^2={\mathrm{E}}_{\mathrm{y}} \\ -\frac{\sout{{\mathrm{h}}^2}}{2\mathrm{m}}\frac{1}{\mathrm{Z}}\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{Z}}{{\mathrm{dZ}}^2}+\frac{1}{2}{\mathrm{³¾Ó\neg }}^2{\mathrm{z}}^2={\mathrm{E}}_{\mathrm{z}} \\ \mathrm{so},\mathrm{E}={\mathrm{E}}_{\mathrm{x}}+{\mathrm{E}}_{\mathrm{y}}+{\mathrm{E}}_{\mathrm{z}} \\ {\mathrm{E}}_{\mathrm{x}}=\left({\mathrm{n}}_{\mathrm{x}}+\frac{1}{2}\right)\sout{\mathrm{h}}\mathrm{Ó\neg } \\ {\mathrm{E}}_{\mathrm{y}}=\left({\mathrm{n}}_{\mathrm{y}}+\frac{1}{2}\right)\sout{\mathrm{h}}\mathrm{Ó\neg } \\ {\mathrm{E}}_{\mathrm{z}}=\left({\mathrm{n}}_{\mathrm{z}}+\frac{1}{2}\right)\sout{\mathrm{h}}\mathrm{Ó\neg } \\ ⇒\mathrm{E}=\left({\mathrm{n}}_{\mathrm{x}}+{\mathrm{n}}_{\mathrm{y}}+{\mathrm{n}}_{\mathrm{z}}+\frac{3}{2}\right)\sout{\mathrm{h}}\mathrm{Ó\neg } \\ ⇒\mathrm{E}=\left(\mathrm{n}+\frac{3}{2}\right)\sout{\mathrm{h}}\mathrm{Ó\neg }âˆ\P Ä\mathrm{n}∈\mathrm{Ζ} \\ \mathrm{As},\mathrm{n}={\mathrm{n}}_{\mathrm{x}}+{\mathrm{n}}_{\mathrm{y}}+{\mathrm{n}}_{\mathrm{z}} \\ \mathrm{So},\mathrm{this}\mathrm{is}\mathrm{proved}\mathrm{that}\mathrm{E}=\left(\mathrm{n}+\frac{3}{2}\right)\sout{\mathrm{h}}\mathrm{Ó\neg }. \end{gathered}$$

(b)

Assumtion of that,

$$\begin{gathered} {\mathrm{n}}_{\mathrm{x}}=\mathrm{n}⇒{\mathrm{n}}_{\mathrm{y}}=0,{\mathrm{n}}_{\mathrm{z}}=0 \\ ⇒\mathrm{d}=1 \\ \mathrm{So},{\mathrm{n}}_{\mathrm{x}}=\mathrm{n}-1⇒{\mathrm{n}}_{\mathrm{y}}=1,{\mathrm{n}}_{\mathrm{z}}=0 \\ \mathrm{OR} \\ {\mathrm{n}}_{\mathrm{y}}=0,{\mathrm{n}}_{\mathrm{z}}=1⇒\mathrm{d}=2 \\ \mathrm{Also},{\mathrm{n}}_{\mathrm{x}}=\mathrm{n}-2→{\mathrm{n}}_{\mathrm{y}}=2{\mathrm{n}}_{\mathrm{z}}=0 \\ \mathrm{OR} \\ {\mathrm{n}}_{\mathrm{y}}=0,{\mathrm{n}}_{\mathrm{z}}=2\mathrm{OR}{\mathrm{n}}_{\mathrm{y}}=1,{\mathrm{n}}_{\mathrm{z}}=1⇒\mathrm{d}=3 \\ \mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{obtained}\mathrm{that}, \\ \mathrm{d}\left(\mathrm{n}\right)=\underset{\mathrm{i}=1}{\overset{\mathrm{n}+1}{∑\mathrm{i}}} \\ =\frac{\left(\mathrm{n}+1\right)\left(\mathrm{n}+2\right)}{2} \\ \mathrm{d}\left(\mathrm{n}\right)=\frac{\left(\mathrm{n}+1\right)\left(\mathrm{n}+2\right)}{2} \\ \mathrm{Hence},\mathrm{the}\mathrm{degeneracy}\mathrm{d}\left(\mathrm{n}\right)\mathrm{is}\frac{\left(\mathrm{n}+1\right)\left(\mathrm{n}+2\right)}{2}. \end{gathered}$$