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Magazine Problem 1
F眉r welche Zahlen \(r \in \mathbb{R}\) besitzt das Randwertproblem $$ \begin{aligned} &4 y^{\prime \prime}+y=r \cdot \sin \frac{x}{2} \\ &y(0)=0, \quad y(2 \pi)=1 \end{aligned} $$ reelle L枚sungen? Geben Sie f眉r diese \(r\) alle reellen L枚sungen an.
Problem 2
Gegeben ist f眉r \(x>0\) die Differentialgleichung $$ y^{\prime \prime}-\frac{2}{x} \cdot y^{\prime}+\frac{2}{x^{2}} \cdot y=0 $$ mit den linear unabh盲ngigen L枚sungen $$ y_{1}(x)=x, \quad y_{2}(x)=x^{2} $$ Untersuchen Sie die Randwertprobleme, die sich bei folgenden Randbedingungen ergeben, auf L枚sbarkeit und bestimmen Sie gegebenenfalls die L枚sungen: a) \(y(1)=5, \quad y(2)=16\), b) \(\quad y^{\prime}(1)=2, \quad y(2)=2\), c) \(\quad 2 \cdot y\left(\frac{1}{2}\right)-y^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=2, \quad y(2)-2 \cdot y^{\prime}(2)=16\).
Problem 3
Zeigen Sie, dass das Randwertproblem $$ \begin{aligned} &y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+4 \cdot y^{\prime}-4 \cdot y=0 \\ &y(0)=\alpha_{1}, \quad y^{\prime}(0)=\alpha_{2}, \quad y(1)=\beta_{1} \end{aligned} $$ f眉r alle \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \beta_{1} \in \mathbb{R}\) eindeutig l枚sbar ist.
Problem 5
Bestimmen Sie s盲mtliche reellen Eigenwerte \(\lambda\) und die zugeh枚rigen Eigenfunktionen des Eigenwertproblems $$ \begin{aligned} &y^{\prime \prime}+\lambda \cdot y=0 \\ &y(0)-y^{\prime}(0)=y(\pi)-y^{\prime}(\pi)=0 \end{aligned} $$ Anleitung: Machen Sie die drei Fallunterscheidungen: \(\lambda>0, \lambda=0, \lambda<0\) und beachten Sie, dass die triviale L枚sung \(y(x) \equiv 0\) keine Eigenfunktion ist.
Problem 6
Vorgelegt sei das Eigenwertproblem $$ \begin{aligned} &y^{\prime \prime}+\frac{1}{x} \cdot y^{\prime}+\frac{\lambda}{x^{2}} \cdot y=0 \\ &y^{\prime}(1)=y^{\prime}\left(e^{2 \pi}\right)=0 \end{aligned} $$ Ein Fundamentalsystem von L枚sungen der Differentialgleichung f眉r positive \(\lambda\) ist durch die Funktionen $$ y_{1}(x)=\cos (\sqrt{\lambda} \cdot \ln x), \quad y_{2}(x)=\sin (\sqrt{\lambda} \cdot \ln x) $$ gegeben. Ermitteln Sie s盲mtliche positiven Eigenwerte \(\lambda\) und die zugeh枚rigen Eigenfunktionen des Problems.
