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Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme mit einem PotenzreihenAnsatz und bestimmen Sie die Glieder bis zur 7 . Ordnung einschließlich: a) \(y^{\prime}=2 x+y \quad, \quad y(0)=1\) b) \(y^{\prime}=x \cdot y+1 \quad, \quad y(0)=0 .\)

Lösen Sie das Anfangswertproblem $$ y^{\prime}=y^{2}+(1-x) \cdot y-1 \quad, \quad y(0)=1 $$ mit Hilfe eines Potenzreihen-Ansatzes. Berechnen Sie die Koeffizienten \(a_{0}\) bis \(a_{5}\) der Potenzreihe. Leiten Sie hieraus eine Vermutung ab, welche Werte die Koeffizienten, \(a_{n}, n=6,7, \ldots\) haben könnten. Welche bekannte Funktion erhalten Sie? Machen Sie die Probe.

Bestimmen Sie mit Hilfe eines Potenzreihen-Ansatzes für die Lösung \(y(x)\) sowie der Potenzreihe für die Kosinusfunktion die ersten 6 Glieder der Potenzreihe der Lösung \(y(x)\) des Anfangswertproblems $$ y^{\prime}=\cos x \cdot y \quad, \quad y(0)=1 $$ Vergleichen Sie das so erhaltene Polynom \(P_{5}(x)\) 5. Grades mit der exakten Lösung \(y(x)\) des Anfangswertproblems (Trennung der Veränderlichen!), indem Sie sowohl \(y\left(\frac{1}{2}\right)\) als auch \(P_{5}\left(\frac{1}{2}\right)\) berechnen.

Bestimmen Sie eine Näherungslösung des Anfangswertproblems $$ y^{\prime \prime}+x^{2} \cdot y^{\prime}+x \cdot y=x^{2}+2 \quad, \quad y(0)=y^{\prime}(0)=0 $$ mit Hilfe eines Potenzreihen-Ansatzes. Geben Sie die Koeffizienten bis zur Ordnung 5 an.

Bestimmen Sie eine Näherungslösung des Anfangswertproblems $$ y^{\prime \prime}+(x-1)^{2} \cdot y=4 \quad, \quad y(1)=1, \quad y^{\prime}(1)=0 $$ mit Hilfe eines Potenzreihen-Ansatzes. Wählen Sie den Entwicklungspunkt \(x_{0}=1\) und geben Sie die Koeffizienten bis zur Ordnung 6 an.