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Man berechne das Integral $$ \int_{0}^{a} x^{k} d x, \quad\left(k \in \mathbb{N}, a \in \mathbb{R}_{+}^{*}\right) $$mittels Riemannscher Summen. Dabei benutze man eine äquidistante Teilung des Intervalls \([0, a]\).

Man berechne das Integral $$ \int_{1}^{a} \frac{d x}{x}, \quad(a>1) $$mittels Riemannscher Summen. Anleitung: Man wähle folgende Unterteilung: \(1=x_{0}

Man berechne die bestimmten Integrale $$ \int_{0}^{2 \pi} x \cos x d x, \quad \int_{0}^{\pi} x \sin x d x $$

Man berechne das unbestimmte Integral $$ \int \frac{d x}{a x^{2}+b x+c} $$Dabei sind \(a, b, c \in \mathbb{R}\). Man gebe den Definitionsbereich in Abhängigkeit von \(a, b, c\) an.

Man berechne das Integral $$ \int \frac{d x}{1+x^{4}} $$v

Man berechne die folgenden Integrale:a) \(\int x^{2} \sin (2 x) d x\), b) \(\int \cos x \sin (2 x) d x\), c) \(\int x^{3} e^{-x^{2}} d x\)

Man berechne die folgenden Integrale:a) \(\int x^{2} \sin (2 x) d x\) b) \(\int \cos x \sin (2 x) d x\) c) \(\int x^{3} e^{-x^{2}} d x\)

\text { Man berechne die folgenden Integrale: }a) \(\int \sqrt{x^{2}+a^{2}} d x, \quad(a>0)\), b) \(\int \sqrt{1-x+x^{2}} d x\)

Man berechne die folgenden Integrale und gebe den jeweiligen Definitionsbereich an: a) \(\int \sqrt{4+3 x-x^{2}} d x\) b) \(\int x \sqrt{x^{2}-3 x-4} d x\) c) \(\int x \sqrt{1+x^{2}} d x\)

Man bestimme eine Rekursionsformel für die Integrale $$ I_{m}(x):=\int_{0}^{x} \tan ^{m} u d u, \quad|x|<\frac{\pi}{2}, m \in \mathbb{N} $$