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Magazine Problem 1
Man berechne das Integral $$ \int_{0}^{a} x^{k} d x, \quad\left(k \in \mathbb{N}, a \in \mathbb{R}_{+}^{*}\right) $$ mittels Riemannscher Summen. Dabei benutze man eine 盲quidistante Teilung des Intervalls \([0, a]\).
Problem 2
Man berechne das Integral
$$
\int_{1}^{a} \frac{d x}{x}, \quad(a>1)
$$
mittels Riemannscher Summen.
Anleitung: Man w盲hle folgende Unterteilung:
\(1=x_{0}
Problem 5
Seien \(a, b \in \mathbb{R}\) mit \(a \leq b\). Weiter sei \(f:[a, b] \longrightarrow \mathbb{R}\) eine Riemann-integrierbare Funktion und \([A, B] \subset \mathbb{R}\) ein beschr盲nktes Intervall mit $$ f([a, b]) \subset[A, B] $$ Man zeige: F眉r jede stetig differenzierbare Funktion \(\varphi:[A, B] \longrightarrow \mathbb{R}\) ist die Funktion $$ \varphi \circ f:[a, b] \longrightarrow \mathbb{R} $$ wieder Riemann-integrierbar.
Problem 6
Seien \(a, b \in \mathbb{R}\) mit \(a \leq b\). Eine komplexwertige Funktion $$ f=f_{1}+i f_{2}:[a, b] \longrightarrow \mathbb{C}, \quad\left(f_{1}, f_{2}:[a, b] \longrightarrow \mathbb{R}\right) $$ hei脽t Riemann-integrierbar, wenn sowohl \(f_{1}\) als auch \(f_{2}\) Riemann- integrierbar sind, und man setzt $$ \int_{a}^{b} f(x) d x:=\int_{a}^{b} f_{1}(x) d x+i \int_{a}^{b} f_{2}(x) d x $$ Man zeige: Ist \(f:[a, b] \longrightarrow \mathbb{C}\) Riemann-integrierbar, so ist auch \(|f|\) Riemannintegrierbar und es gilt $$ \left|\int_{a}^{b} f(x) d x\right| \leq \int_{a}^{b}|f(x)| d x $$
Problem 7
Die Funktion \(f:[0,1] \longrightarrow \mathbb{R}\) sei f眉r alle \(x \in[0,1]\) definiert durch $$ f(x):=\left\\{\begin{array}{l} 0, \text { falls } x \text { irrational ist, } \\ \frac{1}{q}, \text { falls } x=\frac{p}{q} \text { mit teilerfremden } p, q \in \mathbb{N}, q \geq 1 \end{array}\right. $$ Man zeige, dass \(f\) Riemann-integrierbar ist mit $$ \int_{0}^{1} f(x) d x=0 $$
