91Ó°ÊÓ

The encrypted matrix$E$, is obtained by multiplying the message matrix$M$, by a key matrix$K$. The original message can be retrieved by multiplying the encrypted matrix by the inverse of the key matrix. That is, $E=M.K$and $M=E·K^{-1}$.

We have the given key matrix $K=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right]$

(b) First we have to find $\left[Kâˆ\pounds I_3\right]$first, we have to form

$\left[Kâˆ\pounds I_3\right]=\left[\begin{array}{cccccc}2& 1& 1& 1& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 1& 0\\ 1& 1& 1& 0& 0& 1\end{array}\right]$

Now let us convert the left side of the matrix into its reduced echelon form.

By performing the operation $R_1=\frac{r_1}{2}$,

$\left[\begin{array}{cccccc}\frac{2}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{0}{2}& \frac{0}{2}\\ 1& 1& 0& 0& 1& 0\\ 1& 1& 1& 0& 0& 1\end{array}\right]→\left[\begin{array}{cccccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 1& 0\\ 1& 1& 1& 0& 0& 1\end{array}\right]$

Substracting the first row from the second row,

$\left[\begin{array}{cccccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0& 0\\ 1−1& 1−\frac{1}{2}& 0−\frac{1}{2}& 0−\frac{1}{2}& 1−0& 0−0\\ 1& 1& 1& 0& 0& 1\end{array}\right]→\left[\begin{array}{cccccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& −\frac{1}{2}& −\frac{1}{2}& 1& 0\\ 1& 1& 1& 0& 0& 1\end{array}\right]$

subtracting the first row from the third row,

$\left[\begin{array}{cccccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& −\frac{1}{2}& −\frac{1}{2}& 1& 0\\ 1−1& 1−\frac{1}{2}& 1−\frac{1}{2}& 0−\frac{1}{2}& 0−0& 1−0\end{array}\right]→\left[\begin{array}{cccccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& −\frac{1}{2}& −\frac{1}{2}& 1& 0\\ 0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& −\frac{1}{2}& 0& 1\end{array}\right]$

Multiply the second row by $2$

$\left[\begin{array}{cccccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0& 0\\ 2â‹\dots 0& 2â‹\dots \frac{1}{2}& 2\left(−\frac{1}{2}\right)& 2\left(−\frac{1}{2}\right)& 2â‹\dots 1& 2â‹\dots 0\\ 0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& −\frac{1}{2}& 0& 1\end{array}\right]→\left[\begin{array}{cccccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& 1& −1& −1& 2& 0\\ 0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& −\frac{1}{2}& 0& 1\end{array}\right]$

Perform the operation $R_3=r_3-\frac{r_2}{2}$we get,

$\left[\begin{array}{cccccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& 1& −1& −1& 2& 0\\ 0−0& \frac{1}{2}−\frac{1}{2}& \frac{1}{2}+\frac{1}{2}& −\frac{1}{2}+\frac{1}{2}& 0−1& 1−0\end{array}\right]→\left[\begin{array}{cccccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& 1& −1& −1& 2& 0\\ 0& 0& 1& 0& −1& 1\end{array}\right]$

Perform the operation $R_1=r_1-\frac{r_2}{2}$

$\left[\begin{array}{cccccc}1−0& \frac{1}{2}−\frac{1}{2}& \frac{1}{2}+\frac{1}{2}& \frac{1}{2}+\frac{1}{2}& 0−1& 0−0\\ 0& 1& −1& −1& 2& 0\\ 0& 0& 1& 0& −1& 1\end{array}\right]→\left[\begin{array}{r}1â€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots 0â€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots 1â€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots 1â€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots −1â€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots 0\\ 0â€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots 1â€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots −1â€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots −1â€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots 2â€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots 0\\ 0â€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots 0â€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots 1â€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots 0â€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots −1â€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots 1\end{array}\right]$

Subtract the third row from the first row,

$\left[\begin{array}{cccccc}1−0& 0−0& 1−1& 1−0& −1−(−1)& 0−1\\ 0& 1& −1& −1& 2& 0\\ 0& 0& 1& 0& −1& 1\end{array}\right]→\left[\begin{array}{cccrrr}1& 0& 0& 1& 0& −1\\ 0& 1& −1& −1& 2& 0\\ 0& 0& 1& 0& −1& 1\end{array}\right]$

Add second and third row, we get

$\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 1& 0& −1\\ 0+0& 1+0& −1+1& −1+0& 2−1& 0+1\\ 0& 0& 1& 0& −1& 1\end{array}\right]→\left[\begin{array}{cccrrr}1& 0& 0& 1& 0& −1\\ 0& 1& 0& −1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 0& −1& 1\end{array}\right]$

Therefore, the inverse key matrix is$\left[\begin{array}{r}1â€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots 0â€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots −1\\ −1â€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots 1â€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots 1\\ 0â€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots −1â€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots 1\end{array}\right]$

(b)To find the message matrix $M$,we have to find the product of the two matrices $K^{-1}$and $E$.

$$\begin{gathered} E{K}^{−1}=\left[\begin{array}{lll}47& 34& 33\\ 44& 36& 27\\ 47& 41& 20\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}1& 0& −1\\ −1& 1& 1\\ 0& −1& 1\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}47−34& 34−33& −47+34+33\\ 44−36& 36−27& −44+36+27\\ 47−41& 41−20& −47+41+20\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}13& 1& 20\\ 8& 9& 19\\ 6& 21& 14\end{array}\right] \end{gathered}$$

The message matrix $M=\left[\begin{array}{ccc}13& 1& 20\\ 8& 9& 19\\ 6& 21& 14\end{array}\right]$

(c) Each number in the matrix represents a letter of the English alphabet. Therefore,

Hence, the original message is "Math is fun".