91Ó°ÊÓ

We have been given:

$f(-3)=-112,f(-1)=-2,f\left(1\right)=4$and $f\left(2\right)=13$

We have to find $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$.

$$\begin{gathered} aâ‹\dots (−3{)}^3+bâ‹\dots (−3{)}^2+câ‹\dots (−3)+d=−112 \\ −27a+9b−3c+d=−112 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} aâ‹\dots (−1{)}^3+bâ‹\dots (−1{)}^2+câ‹\dots (−1)+d=−112 \\ −a+b−c+d=−2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} aâ‹\dots (1{)}^3+bâ‹\dots (1{)}^2+câ‹\dots \left(1\right)+d=−112 \\ a+b+c+d=4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} aâ‹\dots (2{)}^3+bâ‹\dots (2{)}^2+câ‹\dots \left(2\right)+d=13 \\ 8a+4b+2c+d=13 \end{gathered}$$

$\left\{\begin{array}{l}−27a+9b−3c+dâ€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots =−112\\ −a+b−c+dâ€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots =−2\\ a+b+c+dâ€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots =4\\ 8a+4b+2c+dâ€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots =13\end{array}\right.$

The corresponding augmented matrix is:

$\left[\begin{array}{ccccc}−27& 9& −3& 1& −112\\ −1& 1& −1& 1& −2\\ 1& 1& 1& 1& 4\\ 8& 4& 2& 1& 13\end{array}\right]$

$$\begin{gathered} R_1↔R_3 \\ \left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 4\\ −1& 1& −1& 1& −2\\ -27& 9& -3& 1& -112\\ 8& 4& 2& 1& 13\end{array}\right] \\ {R}_2→R_2+R_1 \\ {R}_3→R_3+27R_1 \\ {R}_4→R_4-8R_1 \\ \left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 4\\ 0& 2& 0& 2& 2\\ 0& 36& 24& 28& −4\\ 0& −4& −6& −7& −19\end{array}\right] \\ {R}_3→R_3-18R_2 \\ {R}_4→R_4+2R_2 \\ \left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 4\\ 0& 2& 0& 2& 2\\ 0& 0& 24& −8& −40\\ 0& 0& −6& −3& −15\end{array}\right] \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} R_2→\frac{1}{2}{R}_2 \\ {R}_4→R_4+\frac{6}{24}{R}_3 \\ \left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 4\\ 0& 1& 0& 1& 1\\ 0& 0& 24& −8& −40\\ 0& 0& 0& −5& −25\end{array}\right] \\ {R}_3→\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 8}}{R}_3 \\ {R}_4→−\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 5}}{R}_4 \\ :\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 4\\ 0& 1& 0& 1& 1\\ 0& 0& 3& −1& −5\\ 0& 0& 0& 1& 5\end{array}\right] \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} a+b+c+dâ€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots =4\left(1\right) \\ b+dâ€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots =1\left(2\right) \\ 3c−dâ€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots =−5\left(3\right) \\ dâ€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots =5\left(4\right) \\ dâ€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots =5 \\ From\left(3\right):3c−5â€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots =−5 \\ câ€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots =0 \\ From\left(2\right):b+5â€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots =1 \\ bâ€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots =−4 \\ From\left(1\right):a−4+5â€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots =4 \\ aâ€\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots â\P Ä\dots =3 \end{gathered}$$

$\mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{will}\mathrm{be}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=3{\mathrm{x}}^3-4{\mathrm{x}}^2+5.$