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Chapter 30: Problem 6

Bestimmen Sie die komplexen Fourierkoeffizienten der Funktion \(f\), die durch $$ f(x)= \begin{cases}0, & -\pi

Short Answer

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The complex Fourier coefficients for the given function \(f(x)\) are: For \(n \neq 1\): $$c_n = \frac{1}{2\pi}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}(1-n)\pi} - 1}{\mathrm{i}(1-n)}$$ For \(n = 1\): $$c_1 = \frac{1}{2}$$

Step by step solution

01

Write down the general formula for the complex Fourier coefficients

The complex Fourier coefficients \(c_{n}\) are given by the formula: $$c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}nx} \mathrm{d}x$$ where \(n\in \mathbb{Z}\).
02

Divide the function into its two parts and compute the coefficients separately

We will first calculate the coefficients for the part of the function where \(-\pi < x \leq 0\). In that interval, \(f(x) = 0\) so we have: $$c_n^1 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{0} 0\cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{i}nx} \mathrm{d}x$$ Now, for the part of the function where \(0 < x \leq \pi\), we have \(f(x) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}x}\): $$c_n^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(1-n)x} \mathrm{d}x$$
03

Evaluate the integrals to find the coefficients

First, let's compute \(c_n^1\). Since the integrand is equal to zero, the integral is also equal to zero: $$c_n^1 = 0$$ Now let's compute \(c_n^2\). For \(n\neq 1\), the integral becomes: $$c_n^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(1-n)x}\mathrm{d}x = \frac{1}{2\pi} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}(1-n)x}}{\mathrm{i}(1-n)}\bigg\rvert_0^{\pi} = \frac{1}{2\pi}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}(1-n)\pi} - 1}{\mathrm{i}(1-n)}$$ For \(n=1\), we get: $$c_1^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi} \mathrm{d}x = \frac{1}{2}$$
04

Combine the coefficients and simplify

Now, we need to combine the coefficients from the two parts of the function: $$c_n = c_n^1 + c_n^2$$ Since \(c_n^1 = 0\), we have: $$c_n = c_n^2$$ So for \(n\neq 1\), we have: $$c_n = \frac{1}{2\pi}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}(1-n)\pi} - 1}{\mathrm{i}(1-n)}$$ And for \(n = 1\), we have: $$c_1 = \frac{1}{2}$$ These are the complex Fourier coefficients for the given function \(f(x)\).

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Leiten Sie aus der komplexen Darstellung der Parseval'schen Gleichung (siehe S. 1147) die folgende reelle Form her: F眉r eine reellwertige Funktion \(f \in L^{2}(\pi, \pi)\) mit den Fourierkoeffizienten \(a_{k}, k \in \mathbb{N}_{0}\) bzw. \(b_{k}, k \in \mathbb{N}\) gilt $$ 2 a_{0}^{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_{k}^{2}+b_{k}^{2}\right)=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^{2} \mathrm{~d} x $$

Die Funktion \(f\) ist auf \(\mathbb{R}\) gegeben durch $$ f(x)= \begin{cases}x(\pi-x), & 0 \leq x \leq \pi \\ 0, & \text { sonst. }\end{cases} $$ (a) Zeigen Sie, dass \(g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), definiert durch $$ g(x)=f\left(x+\frac{\pi}{2}\right), \quad x \in \mathbb{R} $$ eine gerade Funktion ist. (b) Bestimmen Sie die reellen Fourierkoeffizienten von \(g\). (c) Zeigen Sie $$ \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} n x} \mathrm{~d} x=(-\mathrm{i})^{n} \int_{-\pi}^{\pi} g(x) \cos (n x) \mathrm{d} x, \quad n \in \mathbb{Z} $$ und bestimmen Sie die komplexen Fourierkoeffizienten von \(f\).

Die \(2 \pi\)-periodische Funktion \(f\) ist auf dem Intervall \((-\pi, \pi)\) durch $$ f(x)=|x|(\pi-|x|) $$ gegeben. Skizzieren Sie \(f\) und berechnen Sie die reellen Fourierkoeffizienten. Warum konvergiert die Fourierreihe f眉r jedes \(x \in \mathbb{R}\) ? Zeigen Sie au脽erdem $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}=\frac{\pi^{4}}{90} $$

Die mit \(2 \pi\)-periodische Funktion \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) besitzt im Intervall \((-\pi, \pi)\) die Werte $$ f(x)=\cosh x, \quad x \in(-\pi, \pi) $$ Begr眉nden Sie, dass \(f\) st眉ckweise stetig differenzierbar ist. Ist \(f\) auch stetig differenzierbar? Bestimmen Sie auch die Fourierreihe der Funktion in reeller Form. Ist diese punktweise konvergent? Tritt das Gibbs'sche Ph盲nomen auf?

Entwickeln Sie die Funktion $$ f(x)=x \cos x, \quad x \in(-\pi, \pi) $$ in eine Fourierreihe in reeller Form.
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