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Können Angaben von Werten über \(100 \%\) sinnvoll\\} sein?

Warum werden leere Summen gleich null, leere Produkte aber gleich eins gesetzt?

Bestimmen Sie die Summe aller natürlichen \(\mathrm{Zah}\) len von eins bis tausend.

Die Zahlen \(a_{k}\) mit \(k \in \mathbb{N}\) seien beliebig aus \(\mathbb{R}\). Eine Summe der Form $$ T_{n}=\sum_{k=1}^{n-1}\left(a_{k+1}-a_{k}\right) $$ nennt man eine Teleskopsumme. Bestimmen Sie eine geschlossene Formel für den Wert einer solchen Summe und beweisen Sie sie mit Indexverschiebungen sowie mittels vollständiger Induktion.

Seltener als mit dem Binomialkoeffizienten hat man es mit seiner Verallgemeinerung, dem Multinomialkoeffizienten zu tun. Dieser ist definiert als $$ \left(\begin{array}{c} n \\ \left\\{k_{1}, \ldots, k_{m}\right\\} \end{array}\right)=\frac{n !}{k_{1} ! k_{2} ! \ldots k_{m} !} $$ mit Zahlen \(k_{i} \in \mathbb{N}_{0}\), die zusätzlich die Bedingung $$ k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{m}=n $$ erfullen. Im Fall \(m=2\) reduziert sich das mit \(k_{1}=k\) und \(k_{2}=n-k\) auf den bekannten Binomialkoeffizienten. „Echte" Multinomialkoeffizienten treten dann auf, wenn man ein Multinom, also eine Summe mit mehr als zwei Summanden potenziert: $$ \begin{aligned} &\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{m}\right)^{n} \\ &\quad=\sum_{k_{1}+\ldots+k_{m}=n}\left(\begin{array}{c} n \\ \left\\{k_{1}, \ldots, k_{m}\right\\} \end{array}\right) a_{1}^{k_{1}} a_{2}^{k_{2}} \ldots a_{m}^{k_{m 1}} \end{aligned} $$ Bestimmen Sie die Multinomialkoeffizienten für \(n=2\) und \(m=3\) und ermitteln Sie damit ohne Ausmultiplizieren den Ausdruck \((a+b+c)^{2}\)

Beweisen Sie die allgemeine binomische Formel $$ (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) a^{k} b^{n-k} $$ für \(n \in \mathbb{N}_{0}\) mittels vollständiger Induktion.