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Wir betrachten die lineare Abbildung \(\varphi: \mathbb{R}^{4} \rightarrow\) \(\mathbb{R}^{4}, v \mapsto A v\) mit der Matrix $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 3 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 3 \end{array}\right) $$ Gegeben sind weiter die Vektoren' $$ a=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) \quad \text { und } c=\left(\begin{array}{l} 4 \\ 4 \\ 4 \\ 4 \end{array}\right) $$ (a) Berechnen Sie \(\varphi(\) a \()\) und begr眉nden Sie, dass \(\boldsymbol{b}\) im Kern von \(\varphi\) liegt. Ist \(\varphi\) injektiv? (b) Bestimmen Sie die Dimensionen von Kern und Bild der linearen Abbildung \(\varphi\). (c) Bestimmen Sie Basen des Kerns und des Bildes von \(\varphi\). (d) Bestimmen Sie die Menge \(L\) aller \(\boldsymbol{v} \in \mathbb{R}^{4}\) mit \(\varphi(\boldsymbol{v})=\boldsymbol{c}\).

Step by step solution

01

(a) Calculate the image of vector a under the transformation and prove that vector b is in the kernel

To calculate the image of a vector under a linear transformation, we need to multiply the given matrix by the vector. In this case, multiply matrix A by vector a: $\varphi(a) = Aa = \left(\begin{array}{cccc} 3 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 3 \end{array}\right) \left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} 4 \\ 4 \\ 4 \\ 4 \end{array}\right) $ Now, we need to prove that vector b is in the kernel of the transformation. The kernel of a linear transformation consists of vectors that map to the zero vector. To check if b is in the kernel, multiply matrix A by vector b: $\varphi(b) = Ab = \left(\begin{array}{cccc} 3 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 3 \end{array}\right) \left(\begin{array}{l} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) $ Since \(\varphi(b)\) resulted in the zero vector, vector b is in the kernel of the transformation.

02

(a) Determine if the transformation is injective

A transformation is injective if its kernel contains only the zero vector. In our case, we have already proven that vector b, which is not the zero vector, is in the kernel. Therefore, the transformation is not injective.

03

(b) Determine dimensions of the kernel and image of the transformation

Since we know that vector b is in the kernel, it has at least one non-trivial element in the kernel. Thus, the dimension of the kernel is at least 1. We can also calculate the rank of matrix A to determine the dimension of its image. The rank of A is 3 (by row reduction or calculating determinants of its square submatrices). According to the Rank-Nullity theorem, the rank of a matrix plus the nullity (dimension of the kernel) equals the number of columns. \(dim(Ker(\varphi)) + dim(Im(\varphi)) = 4\) Since we know that the rank of A is 3, the dimension of the kernel is 1. Thus, dimensions of the kernel and the image of the transformation are 1 and 3, respectively.

04

(c) Determine bases for the kernel and the image of the transformation

We have already found one vector in the kernel, vector b. Since the dimension of the kernel is 1, vector b itself forms a basis for the kernel. To find a basis for the image, we can look at the column space of matrix A. Row reducing the matrix A, we will get: $$\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$ The first three columns are linearly independent, thus they form a basis for the image of the transformation: $$ \left\{\left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)\right\} $$

05

(d) Determine the set L of all vectors in 鈩漗4 with their transformation equal to vector c

To find the set L, we need to solve the following equation for vector v: \(\varphi(v) = c\) We can write the equation as a system of linear equations: \(Av = c\) Since the transformation of vector a is equal to vector c, we can express any vector in the set L as a vector in the form: \(v = a + k*b\) where k is an arbitrary scalar which makes the vector in L also an element of \(Ker(\varphi)\).

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Key Concepts

These are the key concepts you need to understand to accurately answer the question.

Kern einer Matrix

Der Kern einer Matrix ist ein fundamentales Konzept im Bereich der linearen Algebra und spielt eine wichtige Rolle bei der Untersuchung linearer Abbildungen. Der Kern bezieht sich auf die Menge aller Vektoren, die durch die Anwendung der Matrix auf den Nullvektor abgebildet werden. In Formeln ausgedr眉ckt bedeutet das, wenn wir eine Matrix A haben und x ein Vektor ist, liegt x im Kern von A, wenn Ax = 0 gilt.

Wenn wir beispielsweise die Matrix A aus der Aufgabe nehmen und mit dem Vektor b multiplizieren, erhalten wir das Nullvektor, was impliziert, dass b im Kern liegt. Interessant ist, dass der Kern ein Untervektorraum des Ausgangsvektorraums ist. Das bedeutet, alle Vektoren im Kern k枚nnen addiert und skaliert werden, und das Ergebnis bleibt immer noch im Kern. Das veranschaulicht, warum in Aufgabenteil (d) jede Kombination von a und b mit einem Skalar k auch im Kern liegen wird, da b bereits ein Teil des Kerns ist.

Injektive Abbildung

Eine injektive Abbildung, auch injektive Funktion oder Einbettung genannt, ist ein Typus einer Funktion, bei dem unterschiedliche Elemente des Definitionsbereiches immer auf unterschiedliche Elemente des Wertebereiches abgebildet werden. In der Sprache der linearen Abbildungen bedeutet dies, dass es keine zwei verschiedenen Vektoren v und w gibt, f眉r die gilt, dass A_v = A_w.

Die entscheidende Eigenschaft einer injektiven Funktion im Kontext von linearen Abbildungen ist, dass ihr Kern nur den Nullvektor enth盲lt. Das hei脽t, wenn irgendein Vektor au脽er dem Nullvektor im Kern liegt, wie der Vektor b in unserer 脺bungsaufgabe, ist die Funktion nicht injektiv. Diese Tatsache wird genutzt, um festzustellen, dass die gegebene lineare Abbildung 蠁 nicht injektiv ist, da b 鈮� 0 und 蠁(b) = 0.

Dimension von Kern und Bild

Die Dimension von Kern und Bild einer Matrix gibt uns Einsicht 眉ber viele Eigenschaften der entsprechenden linearen Abbildung. Die Dimension des Kerns sagt uns, wie viele Vektoren 鈥� abgesehen vom Nullvektor 鈥� durch die Matrix auf den Nullvektor abgebildet werden. Intuitiv entspricht dies der Anzahl der Freiheitsgrade, die gel枚st werden m眉ssen, um die Menge der L枚sungen zu finden, wie in Aufgabenteil (c) illustriert wird.

Das Bild einer Matrix, auch bekannt als der Spaltenraum, ist der Untervektorraum, der durch die Linearkombination aller Spalten der Matrix erzeugt wird. Die Dimension des Bildes, die auch als Rang bezeichnet wird, informiert uns 眉ber die Anzahl der linear unabh盲ngigen Ausgaben, die durch die Matrix erzeugt werden k枚nnen. Bei der gegebenen Matrix A war der Rang 3, was bedeutet, dass es drei linear unabh盲ngige Vektoren gibt, die das Bild aufspannen.

Basis des Vektorraums

Eine Basis eines Vektorraums ist ein Satz von Vektoren, der zwei wichtige Bedingungen erf眉llt: Die Vektoren sind linear unabh盲ngig und jeder Vektor im Raum kann als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden. Die Basis dient als 'Bausteine' f眉r den gesamten Raum, und die Anzahl der Vektoren in der Basis gibt uns die Dimension dieses Raumes an.

Um die Basis des Kerns oder des Bildes einer linearen Abbildung zu bestimmen, k枚nnen wir Methoden wie Zeilenstufenform oder die Bestimmung der linearen Unabh盲ngigkeit verwenden. In unserer Aufgabe stellte sich heraus, dass b eine Basis f眉r den Kern bildet, da es der einzige Vektor ist, und die ersten drei linear unabh盲ngigen Spalten der Matrix A bilden eine Basis f眉r das Bild von A. Das erlaubt uns, jeden Vektor im Bild als Kombination dieser Basisvektoren zu schreiben.