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Chapter 38: Problem 11
Bestimmen Sie die Verteilung der Augensumme \(S=X_{1}+X_{2}\) von zwei unabh盲ngigen idealen W眉rfeln \(X_{1}\) und \(X_{2}\).
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Sei \(X\) die Augenzahl bei einem idealen \(n\)-seitigen W眉rfel: \(\mathrm{P}(X=i)=\frac{1}{n}\) f眉r \(i=1, \cdots, n\). Berechnen Sie \(\mathrm{E}(X)\) und \(\operatorname{Var}(X)\).
Ein fairer W眉rfel wird dreimal geworfen. 1\. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Medians \(X_{\text {med }}\) der drei Augenzahlen. 2\. Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion von \(X_{\text {med }}\). 3\. Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz des Medians.
Beweisen Sie die folgende Ungleichung: $$ \mathrm{P}(X \geq t) \leq \inf _{s>0}\left(\mathrm{e}^{-s t} \mathrm{E}\left(\mathrm{e}^{s X}\right)\right) $$ Dabei l盲uft das Infimum 眉ber alle \(s>0\), f眉r die \(\mathrm{E}\left(\mathrm{e}^{s X}\right)\) existiert.
Welche der folgenden 8 Aussagen sind richtig: 1\. Jede diskrete Variable, die nur endlich viele Realisationen besitzt, besitzt auch Erwartungswert und Varianz. 2\. Eine diskrete zuf盲llige Variable, die mit positiver Wahrscheinlichkeit beliebig groB werden kann, \(\mathrm{P}(X>n)>0\) f眉r alle \(n \in \mathbb{N}\), besitzt keinen Erwartungswert. 3\. \(X\) und \(-X\) haben die gleichen Varianz. 4\. Haben \(X\) und \(-X\) den gleichen Erwartungswert, dann ist \(\mathrm{E}(X)=0\) 5\. Wenn \(X\) den Erwartungswert \(\mu\) besitzt, dann kann man erwarten, dass die Realisationen von \(X\) meistens in der n盲heren Umgebung von \(\mu\) liegen. 6\. Bei jeder zuf盲lligen Variablen sind stets \(50 \%\) aller Realisationen gr枚脽er als der Erwartungswert. 7\. Sind \(X\) und \(Y\) zwei zuf盲llige Variable, so ist \(\mathrm{E}(X+Y)=\) \(\mathrm{E}(X)+\mathrm{E}(Y)\) 8\. Ist die zuf盲llige Variable \(Y=g(X)\) eine nichtlineare Funktion der zuf盲lligen Variablen \(X\), dann ist \(\mathrm{E}(Y)=g(\mathrm{E}(X))\).
Welche der folgenden vier Aussagen sind richtig: 1\. Kennt man die Verteilung von \(X\) und die Verteilung von \(Y\), dann kann man daraus die Verteilung von \(X+Y\) berechnen. 2\. Kennt man die gemeinsame Verteilung von \((X, Y)\), kann \(\operatorname{man}\) daraus die Verteilung von \(X\) berechnen. 3\. Haben \(X\) und \(Y\) dieselbe Verteilung, dann ist \(X+Y\) verteilt wie \(2 X\). 4\. Haben zwei standardisierte Variable \(X\) und \(Y\) dieselbe Verteilung, dann ist \(X=a+b Y\). 5\. Haben zwei standardisierte Variable \(X\) und \(Y\) dieselbe Verteilung, dann ist \(X\) verteilt wie \(a+b Y\).
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