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Chapter 38: Problem 14

Sei \(X\) die Augenzahl bei einem idealen \(n\)-seitigen W眉rfel: \(\mathrm{P}(X=i)=\frac{1}{n}\) f眉r \(i=1, \cdots, n\). Berechnen Sie \(\mathrm{E}(X)\) und \(\operatorname{Var}(X)\).

Short Answer

Expert verified
Question: Calculate the expected value and variance for an ideal n-sided dice. Answer: For an ideal n-sided dice, Expected value (E(X)): \(\frac{n + 1}{2}\) Variance (Var(X)): \(\frac{(n+1)(n-1)}{12}\)

Step by step solution

01

Define Variables

Let \(X\) be a random variable representing the outcome of rolling an \(n\)-sided die, and let \(p(X=i) = \frac{1}{n}\) be the probability that the outcome is \(i\) for \(i = 1, 2, \cdots, n\).
02

Calculate Expected Value (E(X))

To compute the expected value E(X), we take the weighted average of the probabilities of each outcome \(i\) by the value of the outcome \(i\), i.e., $$ \mathrm{E}(X) = \sum_{i=1}^{n} i \cdot p(X=i) = \sum_{i=1}^{n} i \cdot \frac{1}{n} $$ Now we can factor \(\frac{1}{n}\) out of the summation and simplify: $$ \mathrm{E}(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} i $$ Recall that the sum of the first n positive integers is given by \(\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, $$ \mathrm{E}(X) = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2} $$
03

Calculate E(\(X^2\))

To find the variance, we also need to calculate the expected value of the square of the outcomes E(\(X^2\)), $$ \mathrm{E}(X^2) = \sum_{i=1}^{n} i^2 \cdot p(X=i) = \sum_{i=1}^{n} i^2 \cdot \frac{1}{n} $$ Factor \(\frac{1}{n}\) out of the summation, $$ \mathrm{E}(X^2) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} i^2 $$ Recall that the sum of the squares of the first n positive integers is given by \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\). Thus, $$ \mathrm{E}(X^2) = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} $$
04

Calculate Variance (Var(X))

The variance is given by the formula \(\operatorname{Var}(X) = \mathrm{E}(X^2) - [\mathrm{E}(X)]^2\). We've already calculated both E(\(X^2\)) and E(X), so we can plug in the values, $$ \operatorname{Var}(X) = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \left(\frac{n+1}{2}\right)^2 $$ Simplify the expression, $$ \operatorname{Var}(X) = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4} = \frac{(n+1)(2n+1)(4) - (n+1)^2(6)}{24} $$ Factor \((n + 1)\) out of the expression, $$ \operatorname{Var}(X) = \frac{(n+1)[(2n+1)(4) - (n+1)(6)]}{24} $$ Simplify further, $$ \operatorname{Var}(X) = \frac{(n+1)(8n - 6n + 4 - 6)}{24} = \frac{(n+1)(2n - 2)}{24} $$ Finally, the variance of X is given by, $$ \operatorname{Var}(X) = \frac{(n+1)(n-1)}{12} $$

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Ein fairer W眉rfel wird dreimal geworfen. 1\. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Medians \(X_{\text {med }}\) der drei Augenzahlen. 2\. Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion von \(X_{\text {med }}\). 3\. Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz des Medians.

Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Begr眉nden Sie Ihre Antwort. 1\. Um eine Prognose 眉ber die zuk眉nftige Realisation einer zuf盲lligen Variablen zu machen, gen眉gt die Kenntnis des Erwartungswerts. 2\. Um eine Prognose 眉ber die Abweichung der zuk眉nftigen Realisation einer zuf盲lligen Variablen von ihrem Erwartungswert zu machen, gen眉gt die Kenntnis der Varianz. 3\. Eine Prognose 眉ber die Summe zuf盲lliger i.i.d.-Variablen ist in der Regel genauer als 眉ber jede einzelne. 4\. Das Prognoseintervall 眉ber die Summe von 100 identisch verteilten zuf盲lligen Variablen (mit Erwartungswert \(\mu\) und Varianz \(\sigma^{2}\) ) ist 10-mal so lang wie das Prognoseintervall f眉r eine einzelne Variable bei gleichem Niveau. 5\. Wenn man hinreichend viele Beobachtungen machen \(\mathrm{kann}\), dann ist \(\mathrm{E}(X)\) ein gute Prognose f眉r die n盲chste Beobachtung.

F眉r Indikatorfunktionen \(I_{A}\) gilt: $$ \begin{aligned} I_{A^{C}} &=1-I_{A} \\ I_{A \cap B} &=I_{A} I_{B} \\ I_{A \cup B} &=1-I_{A} C I_{E}^{C} \end{aligned} $$ Ist \(A\) ein zuf盲lliges Ereignis, so ist \(\mathrm{E}\left(I_{A}\right)=\mathrm{P}(A)\). Beweisen Sie mit diesen Eigenschaften die Siebformel aus Abschn. 37.1: $$ \mathrm{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}\right)=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1} \sum_{1 \leq i_{1}

Welche der folgenden Aussagen sind richtig? 1\. Sind \(X\) und \(Y\) unabh盲ngig, dann sind auch \(1 / X\) und \(1 / Y\) unabh盲ngig. 2\. Sind \(X\) und \(Y\) unkorreliert, dann sind auch \(1 / X\) und \(1 / Y\) unkorreliert.

Zeigen Sie: (a) Ist f眉r eine diskrete Zufallsvariable \(X\) die Varianz identisch null, so ist \(X\) mit Wahrscheinlichkeit 1 konstant: \(\mathrm{P}(X=\) \(\mathrm{E}(X))=1\) (b) Zeigen Sie die gleiche Aussage f眉r eine beliebige Zufallsvariable \(X\).
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