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Chapter 2: Problem 9

Wir betrachten die Teilmengen \(X, Y\) und \(Z\) von \(\mathbb{R}\). Verneinen Sie die Aussage $$ \forall x \in X \exists y \in Y \forall z \in Z: x \cdot y

Short Answer

Expert verified
Answer: The negation of the statement is "There exists an element x in X such that for all elements y in Y, there exists an element z in Z where the product of x and y is greater than or equal to z."

Step by step solution

01

Identify the quantifiers

In the given statement, we have three quantifiers: 鈭�x (universal quantifier for x), 鈭儁 (existential quantifier for y), and 鈭�z (universal quantifier for z). This statement structure can be written as: $$ \forall x \in X \exists y \in Y \forall z \in Z: P(x, y, z) $$ where P(x, y, z) is the proposition "x * y < z".
02

Negate the quantifiers

To negate the statement, we switch the universal quantifiers to existential quantifiers, and vice versa. We also negate the proposition P(x, y, z). The negation of the statement will have the following structure: $$ \exists x \in X \forall y \in Y \exists z \in Z: \neg P(x, y, z) $$
03

Negate the proposition

Since P(x, y, z) is "x * y < z", we must negate it. The negation of the inequality x * y < z is x * y 鈮� z. The negated proposition is Q(x, y, z) = "x * y 鈮� z".
04

Write the negated statement

Now we substitute the negated proposition Q(x, y, z) into the negation structure from Step 2: $$ \exists x \in X \forall y \in Y \exists z \in Z: x \cdot y \ge z $$ So, the negation of the given statement is "There exists an element x in X such that for all elements y in Y, there exists an element z in Z where the product of x and y is greater than or equal to z."

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Gegeben sind die drei Mengen \(M_{1}=\\{a, b, c, d, e\\}, M_{2}=\\{e, f, g, h, i\\}\) und \(M_{3}=\) \(\\{a, c, e, g, i\\} .\) Bilden Sie die Mengen \(M_{1} \cap M_{2}, M_{1} \cup M_{2}\) \(M_{1} \cap M_{3}, M_{1} \cup M_{3}, M_{2} \cap M_{3}\) und \(M_{2} \cup M_{3}\) sowie \(M_{1} \backslash M_{2}\), \(M_{2} \backslash M_{1}, M_{1} \backslash M_{3}, M_{2} \backslash M_{3}, \bigcap_{n=1}^{3} M_{n}=M_{1} \cap M_{2} \cap M_{3}\) und \(\bigcup_{n=1}^{3} M_{n}=M_{1} \cup M_{2} \cup M_{3}\)

Wir sind im Text nicht explizit auf den Unterschied zwischen Aussagen und Aussageformen eingegangen. W盲hrend wir Aussagen als feststellende S盲tze definiert haben, die einen eindeutigen Wahrheitswert \(w\) oder \(f\) haben, sind Aussageformen S盲tze, deren Wahrheitswert sich vorerst nicht bestimmen l盲sst, weil sie noch eine oder mehrere freie Variable beinhalten. Beispiele f眉r Aussageformen w盲ren 鈥濪ie Zahl \(x\) ist ungerade" oder "Monarch \(x\) regierte l盲nger als 20 Jahre", wobei \(x\) jeweils die freie Variable bezeichnet. Ersetzt man in einer Aussageform die freien Variablen durch passende Objekte oder bindet die Variablen durch Quantoren, erh盲lt man Aussagen. ?berpr眉fen Sie, ob es sich bei den folgenden S盲tzen um Aussagen, Aussageformen oder keines der beiden handelt: (a),,\(x\) ist ungerade " mit \(x=2\). (b),\(x\) ist ungerade " mit \(x=3\) (c) \(\forall x \in \mathbb{R}: 1 /\left(1+x^{2} y^{2}\right) \leq 1\) (d) \(\forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 1 /\left(1+x^{2} y^{2}\right) \leq 1\)

Ist der folgende Schluss richtig? (,,Wer von der Quantenmechanik nicht schockiert ist, der hal sie nicht verstanden" (Niels Bohr) \(\wedge\),Niemand versteht die Quantenmechanik" (Richard Feynman)) \(\Rightarrow\),Niemand ist von der Quantenmechanik schockiert"

Beweisen Sie die Absorptionsgesetze: $$ \begin{aligned} &M_{1} \cap\left(M_{1} \cup M_{2}\right)=M_{1} \\ &M_{1} \cup\left(M_{1} \cap M_{2}\right)=M_{1} \end{aligned} $$

Beweisen Sie die 脛quivalenzen: $$ \begin{aligned} (A \vee B) & \Leftrightarrow \neg(\neg A \wedge \neg B) \\ (A \wedge B) & \Leftrightarrow \neg(\neg A \vee \neg B) \\ (A \Rightarrow B) & \Leftrightarrow((\neg A) \vee B) \end{aligned} $$
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