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Chapter 2: Problem 5

Die symmetrische Differenz ist definiert 眉ber: $$ A \Delta B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) $$ Machen Sie sich die Bedeutung dieser Definition klar, und zeichnen Sie ein entsprechendes Venn-Diagramm.

Short Answer

Expert verified
Answer: The symmetric difference of two sets A and B represents the union of the elements exclusive to each set, containing all elements that are only in one of the two sets, but not in both. In a Venn diagram, it is depicted by shading the areas corresponding to (A \ B) and (B \ A), which are the areas that only belong to one of the sets and not to their intersection.

Step by step solution

01

Understand the definition of symmetric difference

The symmetric difference of two sets A and B is the union of the two sets without their intersection. In other words, it contains all elements that are only in one of the two sets, but not in both. The definition can be written as: $$ A \Delta B = (A \backslash B) \cup (B \backslash A) $$ Here, \(A \backslash B\) represents the set of elements that are only in A but not in B, while \(B \backslash A\) represents the set of elements that are only in B but not in A. The union of these two sets represents the symmetric difference.
02

Drawing a Venn diagram of union and intersection

A Venn diagram is a visual representation of the relations between sets. To represent the symmetric difference of sets A and B, we will start by drawing two circles, one for each set. Label the left circle as "A" and the right circle as "B". The circles should intersect, allowing us to represent the area where the sets overlap.
03

Representing the symmetric difference in the Venn diagram

To represent the symmetric difference in the Venn diagram, we will shade the areas that correspond to \(A \backslash B\) and \(B \backslash A\). 1. Shade the area that only belongs to set A, which represents \(A \backslash B\). 2. Shade the area that only belongs to set B, which represents \(B \backslash A\). The shaded areas represent the symmetric difference, as this includes all elements that are only in one of the sets, but not in both. In conclusion, the symmetric difference of sets A and B is the union of the elements exclusive to each set. The Venn diagram visually depicts this by shading the areas corresponding to \(A \backslash B\) and \(B \backslash A\).

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Die Menge \(A_{4}\) hat vier Elemente, die Mengen \(B_{3}\), \(B_{4}\) und \(B_{5}\) haben entsprechend drei, vier und f眉nf Elemente. 脺berlegen Sie jeweils, ob es Abbildungen $$ \begin{aligned} &f_{43}: A_{4} \rightarrow B_{3} \\ &f_{44}: A_{4} \rightarrow B_{4} \\ &f_{45}: A_{4} \rightarrow B_{5} \end{aligned} $$ geben kann, die (a) injektiv, aber nicht surjektiv, (b) surjektiv, aber nicht injektiv, (c) bijektiv sind.

Wie viele unterschiedliche bin盲re, also zwei Aussagen verkn眉pfende Junktoren gibt es?

Wir sind im Text nicht explizit auf den Unterschied zwischen Aussagen und Aussageformen eingegangen. W盲hrend wir Aussagen als feststellende S盲tze definiert haben, die einen eindeutigen Wahrheitswert \(w\) oder \(f\) haben, sind Aussageformen S盲tze, deren Wahrheitswert sich vorerst nicht bestimmen l盲sst, weil sie noch eine oder mehrere freie Variable beinhalten. Beispiele f眉r Aussageformen w盲ren 鈥濪ie Zahl \(x\) ist ungerade" oder "Monarch \(x\) regierte l盲nger als 20 Jahre", wobei \(x\) jeweils die freie Variable bezeichnet. Ersetzt man in einer Aussageform die freien Variablen durch passende Objekte oder bindet die Variablen durch Quantoren, erh盲lt man Aussagen. ?berpr眉fen Sie, ob es sich bei den folgenden S盲tzen um Aussagen, Aussageformen oder keines der beiden handelt: (a),,\(x\) ist ungerade " mit \(x=2\). (b),\(x\) ist ungerade " mit \(x=3\) (c) \(\forall x \in \mathbb{R}: 1 /\left(1+x^{2} y^{2}\right) \leq 1\) (d) \(\forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 1 /\left(1+x^{2} y^{2}\right) \leq 1\)

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