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Chapter 2: Problem 16

Beweisen Sie die Assoziativgesetze: $$ \begin{aligned} &(A \wedge B) \wedge C \Leftrightarrow A \wedge(B \wedge C) \\ &(A \vee B) \vee C \Leftrightarrow A \vee(B \vee C) \end{aligned} $$

Short Answer

Expert verified
Question: Prove the associative laws for logical conjunction (AND symbol, represented as 鈭�) and logical disjunction (OR symbol, represented as 鈭�) using truth tables.

Step by step solution

01

Truth table for (A 鈭� B) 鈭� C

First, we will write down the truth table for the left side of the conjunction associative law, i.e., (A 鈭� B) 鈭� C. This will consist of 8 rows representing all possible combinations of truth values for A, B, and C.
02

Truth table for A 鈭� (B 鈭� C)

Next, we will write down the truth table for the right side of the conjunction associative law, i.e., A 鈭� (B 鈭� C). This will also consist of 8 rows representing all possible combinations of truth values for A, B, and C.
03

Compare truth tables

We will now compare the truth tables from steps 1 and 2. If the output columns for both tables (i.e., the resulting truth values of the expressions) match for all possible combinations of A, B and C, then we can assert that (A 鈭� B) 鈭� C is equivalent to A 鈭� (B 鈭� C). #Disjunction Associative Law#
04

Truth table for (A 鈭� B) 鈭� C

First, we will write down the truth table for the left side of the disjunction associative law, i.e., (A 鈭� B) 鈭� C. This will consist of 8 rows representing all possible combinations of truth values for A, B, and C.
05

Truth table for A 鈭� (B 鈭� C)

Next, we will write down the truth table for the right side of the disjunction associative law, i.e., A 鈭� (B 鈭� C). This will also consist of 8 rows representing all possible combinations of truth values for A, B, and C.
06

Compare truth tables

We will now compare the truth tables from steps 1 and 2, as we did for the conjunction associative law. If the output columns for both tables (i.e., the resulting truth values of the expressions) match for all possible combinations of A, B and C, then we can conclude that (A 鈭� B) 鈭� C is equivalent to A 鈭� (B 鈭� C). By completing these steps for both associative laws, we can successfully prove that the associative laws hold true for logical conjunction and logical disjunction.

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Die symmetrische Differenz ist definiert 眉ber: $$ A \Delta B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) $$ Machen Sie sich die Bedeutung dieser Definition klar, und zeichnen Sie ein entsprechendes Venn-Diagramm.

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Nach einem Mordfall gibt es drei Verd盲chtige, \(A\), \(B\) und \(C\), von denen zumindest einer der T盲ter sein muss. Nachdem sie und die Zeugen getrennt vernommen wurden, kennen die Ermittler folgende Fakten: 1\. Wenn \(A\) T盲ter ist, dann m眉ssen \(B\) oder \(C\) ebenfalls T盲ter sein. 2\. Wenn \(B\) T盲ter ist, dann ist \(A\) unschuldig. 3\. Wenn \(C\) T盲ter ist, dann ist auch \(B\) T盲ter. L盲sst sich damit herausfinden, wer von den dreien schuldig bzw. unschuldig ist?

Welche der folgenden Schl眉sse sind auf formaler Ebene (d. h. noch ohne tats盲chliche Betrachtung der Wahrheitswerte der Aussagen) richtig? Welche sind als Implikationen wahre Aussagen, wenn man auch die Wahrheitswerte der jeweils verknuipften Aussagen betrachtet? 1\. Alle V枚gel k枚nnen fliegen. M枚wen sind V枚gel. \(\Rightarrow\) M枚wen k枚nnen fliegen. 2\. Alle V枚gel k枚nnen fliegen. Pinguine sind V枚gel. \(\Rightarrow\) Pinguine k枚nnen fliegen. 3\. Alle V枚gel k枚nnen fliegen. M枚wen k枚nnen fliegen. \(\Rightarrow\) M枚wen sind V枚gel. 4\. Alle V枚gel k枚nnen fliegen. Libellen k枚nnen fliegen. \(\Rightarrow\) Libellen sind V枚gel.

Jene reellen Zahlen \(x\), die L枚sung einer Polynomgleichung $$ a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0}=0 $$ mit Koeffizienten \(a_{k} \in \mathbb{Z}\) sind, nennt man algebraische Zahlen. Dabei muss mindestens ein \(a_{k} \neq 0\) sein. Alle rationalen Zahlen sind algebraisch, aber auch viele irrationale Zahlen geh枚ren zu dieser Klasse, etwa \(\sqrt{2}\). Reelle Zahlen, die nicht algebraisch sind, hei脽en transzendent. Zeigen Sie, dass unter der Voraussetzung, dass jedes Polynom nur endlich viele Nullstellen hat (was wir bald ohne M眉he beweisen werden k枚nnen), die Menge aller algebraischen Zahlen abz盲hlbar ist.
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