91影视

$\mathrm{T}\left(\mathrm{A}\right)\left(\stackrel{鈬赌}{\mathrm{x}}\right)=\stackrel{鈬赌{\mathrm{T}}^{}}{\mathrm{x}}\mathrm{A}\stackrel{鈬赌}{\mathrm{x}}$

Consider $\mathrm{A},\mathrm{B}鈭�{\mathrm{R}}^{\mathrm{nxn}}\mathrm{and}\mathrm{伪}鈭�\mathrm{R},$then

$$\begin{gathered} \mathrm{T}\left(\mathrm{伪础}+\mathrm{B}\right)\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^{\mathrm{T}}\left(\mathrm{伪础}+\mathrm{B}\right)\mathrm{x} \\ ={\mathrm{x}}^{\mathrm{T}}\left(\mathrm{伪础}\right)\mathrm{x}+{\mathrm{x}}^{\mathrm{T}}\mathrm{Bx} \\ ={\mathrm{伪虫}}^{\mathrm{T}}\mathrm{Ax}+{\mathrm{x}}^{\mathrm{T}}\mathrm{Bx} \\ =\mathrm{伪罢}\left(\mathrm{A}\right)\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{T}\left(\mathrm{B}\right)\left(\mathrm{x}\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{For}\mathrm{伪}=1,\mathrm{we}\mathrm{get}\mathrm{T}\left(\mathrm{A}+\mathrm{B}\right)=\mathrm{T}\left(\mathrm{A}\right)+\mathrm{T}\left(\mathrm{B}\right)\mathrm{and}\mathrm{for}\mathrm{B}=0,\mathrm{we}\mathrm{get}\mathrm{T}\left(\mathrm{伪础}\right)=\mathrm{伪罢}\left(\mathrm{A}\right). \\ \mathrm{So},\mathrm{T}:{\mathrm{R}}^{\mathrm{NXN}}鈫�{\mathrm{Q}}_{\mathrm{n}},\mathrm{T}\left(\mathrm{A}\right)\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^{\mathrm{T}}\mathrm{Ax}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{linear}\mathrm{transformation}. \\ \mathrm{Image}\mathrm{of}\mathrm{T} \end{gathered}$$

We know that for any symmetric matrix $\mathrm{A}鈭�{\mathrm{R}}^{\mathrm{nxn}}$times $\mathrm{n},{\mathrm{x}}^{\mathrm{T}}\mathrm{Ax}$, creates a quadratic form(unique), and that the image of T defines the entire space of quadratic form ${\mathrm{Q}}_{\mathrm{n}}$described by the symmetric matrices.

$\mathrm{rank}\left(\mathrm{T}\right)=\dim \left(\mathrm{lmg}\left(\mathrm{T}\right)\right)=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+1\right)}{2}$

Kernel of T: if A is a skew symmetric matrix, that is ${\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}=-\mathrm{A}$then ,

$$\begin{gathered} \left({\mathrm{x}}^{\mathrm{T}}\mathrm{Ax}\right)={\mathrm{x}}^{\mathrm{T}}{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\mathrm{x}=-{\mathrm{x}}^{\mathrm{T}}\mathrm{Ax} \\ \mathrm{But},\mathrm{since}{\mathrm{x}}^{\mathrm{T}}\mathrm{Ax}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{real}\mathrm{number},\mathrm{so}{\left({\mathrm{x}}^{\mathrm{T}}\mathrm{Ax}\right)}^{\mathrm{T}}={\mathrm{x}}^{\mathrm{T}}\mathrm{Ax}\mathrm{and}\mathrm{so},\mathrm{we}\mathrm{get} \end{gathered}$$

${\mathrm{x}}^{\mathrm{T}}\mathrm{Ax}=-{\mathrm{x}}^{\mathrm{T}}\mathrm{Ax}鈬�{\mathrm{x}}^{\mathrm{T}}\mathrm{Ax}=0$. So, the space of all skew-symmetric matrices is the subset of the kernel of T. By rank-nullity theorem, dimension of kernel of T= nullity of T ${\mathrm{dimR}}^{\mathrm{nxn}}={\mathrm{n}}^2\mathrm{and}\mathrm{rank}\left(\mathrm{T}\right)=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+1\right)}{2}$As a result, because is the dimension of the space of skew-symmetric matrices, all skew-symmetric matrices make up the whole kernel of T.

Thus,

$$\begin{gathered} \ker \left(\mathrm{T}\right)=\left\{\mathrm{A}鈭�{\mathrm{R}}^{\mathrm{nxn}}:{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}=-\mathrm{A}\right\} \\ \mathrm{lmg}\left(\mathrm{T}\right)=\left\{{\mathrm{x}}^{\mathrm{T}}\mathrm{Ax}鈭�{\mathrm{Q}}_{\mathrm{n}}:\mathrm{A}鈭�{\mathrm{R}}^{\mathrm{nxn}},\mathrm{A}={\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\right\}={\mathrm{Q}}_{\mathrm{n}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \ker \left(\mathrm{T}\right)=\left\{\mathrm{A}鈭�{\mathrm{R}}^{\mathrm{nxn}}:{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}=-\mathrm{A}\right\} \\ \mathrm{lmg}\left(\mathrm{T}\right)=\left\{{\mathrm{x}}^{\mathrm{T}}\mathrm{Ax}鈭�{\mathrm{Q}}_{\mathrm{n}}:\mathrm{A}鈭�{\mathrm{R}}^{\mathrm{nxn}},\mathrm{A}={\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\right\} \\ \mathrm{rank}\left(\mathrm{T}\right)=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+1\right)}{2} \\ \mathrm{nulity}\left(\mathrm{T}\right)=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+1\right)}{2} \end{gathered}$$