91Ó°ÊÓ

The differential equation is,

${\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{y}\mathbf{\text{'}}\mathbf{\text{'}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{xy}\mathbf{\text{'}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{6}{\mathbf{x}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{x}                                  ......\left(\mathbf{1}\right)$

Let,

$\begin{array}{rcl}\mathbf{x}& \mathbf{=}& {\mathbf{e}}^{\mathbf{t}}\\ \mathbf{dx}& \mathbf{=}& {\mathbf{e}}^{\mathbf{t}}\mathbf{dt}\\ \frac{\mathbf{dt}}{\mathbf{dx}}& \mathbf{=}& {\mathbf{e}}^{\mathbf{-}\mathbf{t}}\\ \mathbf{y}\mathbf{\text{'}}& \mathbf{=}& \frac{\mathbf{dy}}{\mathbf{dx}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{dy}}{\mathbf{dt}}{\mathbf{e}}^{\mathbf{-}\mathbf{t}}\\ \mathbf{y}\mathbf{\text{'}}\mathbf{\text{'}}& \mathbf{=}& \frac{{\mathbf{d}}^{\mathbf{2}}\mathbf{y}}{{\mathbf{dx}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}{\mathbf{e}}^{\mathbf{-}\mathbf{t}}\left(\frac{\mathbf{dy}}{\mathbf{dt}}{\mathbf{e}}^{\mathbf{-}\mathbf{t}}\left(\mathbf{-}\mathbf{1}\right)\mathbf{+}\frac{{\mathbf{d}}^{\mathbf{2}}\mathbf{y}}{{\mathbf{dt}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{e}}^{\mathbf{-}\mathbf{t}}\right)\mathbf{=}{\mathbf{e}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{t}}\left(\frac{{\mathbf{d}}^{\mathbf{2}}\mathbf{y}}{{\mathbf{dt}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{dy}}{\mathbf{dt}}\right)\end{array}$

Substitute the value of $\mathbf{x}\mathbf{,}  \mathbf{y}$and $\mathbf{y}\mathbf{\text{'}}\mathbf{\text{'}}$in the equation (1),

$\begin{array}{rcl}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{y}\mathbf{\text{'}}\mathbf{\text{'}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{xy}\mathbf{\text{'}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{y}& \mathbf{=}& \mathbf{6}{\mathbf{x}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{x}\\ {\mathbf{e}}^{\mathbf{2}\mathbf{t}}\left[{\mathbf{e}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{t}}\left(\frac{{\mathbf{d}}^{\mathbf{2}}\mathbf{y}}{{\mathbf{dt}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{dy}}{\mathbf{dt}}\right)\right]\mathbf{+}\mathbf{2}{\mathbf{e}}^{\mathbf{t}}\left[\frac{\mathbf{dy}}{\mathbf{dt}}{\mathbf{e}}^{\mathbf{-}\mathbf{t}}\right]\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{y}& \mathbf{=}& \mathbf{6}{\mathbf{x}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{x}\\ \frac{{\mathbf{d}}^{\mathbf{2}}\mathbf{y}}{{\mathbf{dt}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{dy}}{\mathbf{dt}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{y}& \mathbf{=}& \mathbf{6}{\mathbf{x}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{x}\\ \mathbf{y}\mathbf{\text{'}}\mathbf{\text{'}}\mathbf{+}\mathbf{y}\mathbf{\text{'}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{y}& \mathbf{=}& \mathbf{6}{\mathbf{x}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{x}                         ......\left(\mathbf{2}\right)\end{array}$

Write the homogeneous differential equation of the equation (1),

$\mathbf{y}\mathbf{\text{'}}\mathbf{\text{'}}\mathbf{+}\mathbf{y}\mathbf{\text{'}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{0}$

The auxiliary equation for the above equation${\mathbf{m}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{m}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{=}\mathbf{0}$

Solve the auxiliary equation,

$\begin{array}{rcl}{\mathbf{m}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{m}\mathbf{-}\mathbf{2}& \mathbf{=}& \mathbf{0}\\ {\mathbf{m}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{m}\mathbf{-}\mathbf{m}\mathbf{-}\mathbf{2}& \mathbf{=}& \mathbf{0}\\ \mathbf{m}\left(\mathbf{m}\mathbf{+}\mathbf{2}\right)\mathbf{-}\mathbf{1}\left(\mathbf{m}\mathbf{+}\mathbf{2}\right)& \mathbf{=}& \mathbf{0}\\ \left(\mathbf{m}\mathbf{-}\mathbf{1}\right)\left(\mathbf{m}\mathbf{+}\mathbf{2}\right)& \mathbf{=}& \mathbf{0}\\ & & \end{array}$

The roots of the auxiliary equation are${\mathbf{m}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{,} \& {\mathbf{m}}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{1}$.

The complementary solution of the given equation is${\mathbf{y}}_{\mathbf{c}}\mathbf{=}{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{e}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{t}}\mathbf{+}{\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}{\mathbf{e}}^{\mathbf{t}}$.

Assume, the particular solution of equation (1),

${\mathbf{y}}_{\mathbf{p}}\left(\mathbf{t}\right)\mathbf{=}{\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}\frac{\mathbf{1}}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{+}{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}\mathbf{x}                          ......\left(\mathbf{3}\right)$

Now,

$\begin{array}{rcl}{\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}\mathbf{\text{'}}\frac{\mathbf{1}}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{+}{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}\mathbf{\text{'}}\mathbf{x}& \mathbf{=}& \mathbf{0}\\ {\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}\mathbf{\text{'}}\frac{\mathbf{1}}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}& \mathbf{=}& \mathbf{-}{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}\mathbf{\text{'}}\mathbf{x}\\ {\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}\mathbf{\text{'}}& \mathbf{=}& \mathbf{-}{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}\mathbf{\text{'}}{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}                               ......\left(\mathbf{4}\right)\end{array}$

And

$$\begin{gathered} \frac{\mathbf{-}\mathbf{2}{\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}\mathbf{\text{'}}}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}}\mathbf{+}{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}\mathbf{\text{'}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{g}\left(\mathbf{x}\right)}{\mathbf{a}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}\mathbf{x}\mathbf{+}\frac{\mathbf{6}}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}} \\ \frac{\mathbf{-}\mathbf{2}{\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}\mathbf{\text{'}}}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}}\mathbf{+}{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}\mathbf{\text{'}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{x}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{6}}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{4}}} \end{gathered}$$

Substitute the value of ${\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}\mathbf{\text{'}}$ in the above equation,

role="math" localid="1655375054974" $\begin{array}{rcl}\frac{\mathbf{-}\mathbf{2}\left[\mathbf{-}{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}\mathbf{\text{'}}{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}\right]}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}}\mathbf{+}{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}\mathbf{\text{'}}& \mathbf{=}& \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{x}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{6}}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{4}}}\\ \mathbf{3}{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}\mathbf{\text{'}}& \mathbf{=}& \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{x}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{6}}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{4}}}\\ {\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}\mathbf{\text{'}}& \mathbf{=}& \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{x}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{2}}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{4}}}\\ ∫{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}\mathbf{\text{'}}& \mathbf{=}& ∫\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{x}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{2}}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{4}}}\\ {\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}& \mathbf{=}& \mathbf{ln}\left|\mathbf{x}\right|\mathbf{-}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}}\end{array}$

Substitute the value of ${\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}\mathbf{\text{'}}$in the equation (4),

$\begin{array}{rcl}{\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}\mathbf{\text{'}}& \mathbf{=}& \mathbf{-}{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}\mathbf{\text{'}}{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}\\ {\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}\mathbf{\text{'}}& \mathbf{=}& \mathbf{-}\left[\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{x}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{2}}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{4}}}\right]{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}\\ ∫{\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}\mathbf{\text{'}}& \mathbf{=}& \mathbf{-}∫{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{x}}\\ {\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}& \mathbf{=}& \mathbf{-}\frac{{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}}{\mathbf{3}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{ln}\left|\mathbf{x}\right|\end{array}$

Therefore, the particular solution of equation (1),

$$\begin{gathered} d{\mathbf{y}}_{\mathbf{p}}\left(\mathbf{t}\right)\mathbf{=}{\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}\frac{\mathbf{1}}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{+}{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}\mathbf{x} \\ {\mathbf{y}}_{\mathbf{p}}\left(\mathbf{t}\right)\mathbf{=}\left[\mathbf{-}\frac{{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}}{\mathbf{3}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{ln}\left|\mathbf{x}\right|\right]\frac{\mathbf{1}}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{+}\left[\mathbf{ln}\left|\mathbf{x}\right|\mathbf{-}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}{\mathbf{x}}^{\mathbf{3}}}\right]\mathbf{x} \\ {\mathbf{y}}_{\mathbf{p}}\left(\mathbf{t}\right)\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{3}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{2}\mathbf{ln}\left|\mathbf{x}\right|}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{+}\mathbf{xln}\left|\mathbf{x}\right|\mathbf{-}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}} \end{gathered}$$

Therefore, the general solution is,

$$\begin{gathered} \mathbf{y}\mathbf{=}{\mathbf{y}}_{\mathbf{c}}\left(\mathbf{t}\right)\mathbf{+}{\mathbf{y}}_{\mathbf{p}}\left(\mathbf{t}\right) \\ \mathbf{y}\mathbf{=}{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{e}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{t}}\mathbf{+}{\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}{\mathbf{e}}^{\mathbf{t}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{3}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{2}\mathbf{ln}\left|\mathbf{x}\right|}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{+}\mathbf{xln}\left|\mathbf{x}\right|\mathbf{-}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}} \end{gathered}$$

Substitute $\mathbf{x}\mathbf{=}{\mathbf{e}}^{\mathbf{t}}$in the above equation,

$$\begin{gathered} \mathbf{y}\mathbf{=}{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{e}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{t}}\mathbf{+}{\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}{\mathbf{e}}^{\mathbf{t}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{3}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{2}\mathbf{ln}\left|\mathbf{x}\right|}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{+}\mathbf{xln}\left|\mathbf{x}\right|\mathbf{-}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}} \\ \mathbf{y}\mathbf{=}{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{x}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}\mathbf{x}\mathbf{-}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{3}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{-}\mathbf{ln}\left|\mathbf{x}\right|\left(\mathbf{x}\mathbf{-}\frac{\mathbf{2}}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}\right) \\ \mathbf{y}\mathbf{=}{\mathbf{Ax}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{Bx}\mathbf{-}\mathbf{ln}\left|\mathbf{x}\right|\left(\mathbf{x}\mathbf{-}\frac{\mathbf{2}}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}\right) \end{gathered}$$