91Ó°ÊÓ

A function,$g(x,y)=5x−4y^2+x\ln y,y>0$

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{first}-\mathrm{order}\mathrm{partial}\mathrm{derivatives}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{are}: \\ {g}_x(x,y)=\frac{∂g}{∂\mathrm{x}}=5+\ln y\mathrm{and}{g}_y(x,y)=\frac{∂g}{∂\mathrm{y}}=-8y+\frac{x}{y} \\ \mathrm{Now},\mathrm{solve}\mathrm{the}\mathrm{system}\mathrm{of}\mathrm{equations}:5+\ln y=0\mathrm{and}-8y+\frac{x}{y}=0,\mathrm{we}\mathrm{get}, \\ y=e^{-5}\mathrm{and}\mathrm{x}=8{\mathrm{e}}^{-10} \\ \mathrm{We}\mathrm{find}\mathrm{only}\mathrm{one}\mathrm{stationary}\mathrm{point}s\mathrm{of}g,\mathrm{namely}:(8{\mathrm{e}}^{-10},{\mathrm{e}}^{-5}) \\ \mathrm{The}\mathrm{second}-\mathrm{order}\mathrm{partial}\mathrm{derivatives}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{are}: \\ {g}_{xx}(x,y)=\frac{{∂}^{2}g}{∂{\mathrm{x}}^2}=0,g_{yy}(x,y)=\frac{{∂}^{2}g}{∂{\mathrm{y}}^2}=-8-\frac{x}{y^2}\mathrm{and}{g}_{xy}(x,y)=\frac{{∂}^{2}g}{∂\mathrm{x}∂\mathrm{y}}=\frac{1}{y} \\ {g}_{xx}(8{\mathrm{e}}^{-10},{\mathrm{e}}^{-5})=0,g_{yy}(8{\mathrm{e}}^{-10},{\mathrm{e}}^{-5})=-8-8e^{-5}and{g}_{xy}(8{\mathrm{e}}^{-10},{\mathrm{e}}^{-5})=e^5 \\ \mathrm{The}\mathrm{determinant}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{Hessian}\mathrm{is}: \\ det\left(H_g\left(x,y\right)\right)=\left(\frac{{∂}^{2}g}{∂{\mathrm{x}}^2}\right)\left(\frac{{∂}^{2}g}{∂{\mathrm{y}}^2}\right)-{\left(\frac{{∂}^{2}g}{∂\mathrm{x}∂\mathrm{y}}\right)}^2 \\ det\left(H_g(8{\mathrm{e}}^{-10},{\mathrm{e}}^{-5})\right)=0×\left(-8-8e^{-5}\right)-{\left(e^5\right)}^2=-e^{10} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{If}g\mathrm{has}\mathrm{a}\mathrm{stationary}\mathrm{point}\mathrm{at}({\mathrm{x}}_0,{\mathrm{y}}_0),\mathrm{then} \\ \left(\mathrm{a}\right)g\mathrm{has}\mathrm{a}\mathrm{relative}\mathrm{maximum}\mathrm{at}(x_0,y_0)\mathrm{if}det\left(H_g\right(x_0,y_0\left)\right)>0\mathrm{with} \\ {g}_{xx}(x_0,y_0)<0or{g}_{yy}(x_0,y_0)<0. \\ \left(\mathrm{b}\right)g\mathrm{has}\mathrm{a}\mathrm{relative}\mathrm{minimum}\mathrm{at}(x_0,y_0)\mathrm{if}det\left(H_g\right(x_0,y_0\left)\right)>0\mathrm{with} \\ {g}_{xx}(x_0,y_0)>0\mathrm{or}{g}_{yy}(x_0,y_0)>0. \\ \left(\mathrm{c}\right)g\mathrm{has}\mathrm{a}\mathrm{saddle}\mathrm{point}\mathrm{at}(x_0,y_0)\mathrm{if}det\left(H_g\right(x_0,y_0\left)\right)<0. \\ \left(\mathrm{d}\right)\mathrm{If}det\left(H_g\right(x_0,y_0\left)\right)=0,\mathrm{no}\mathrm{conclusion}\mathrm{may}\mathrm{be}\mathrm{drawn}\mathrm{about}\mathrm{the}\mathrm{behavior}\mathrm{of} \\ g\mathrm{at}(x_0,y_0). \\ \mathrm{In}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{function},det\left(H_g(8{\mathrm{e}}^{-10},{\mathrm{e}}^{-5})\right)<0. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{has}\mathrm{saddle}\mathrm{point}\mathrm{at}(8{\mathrm{e}}^{-10},{\mathrm{e}}^{-5})\mathrm{with}\mathrm{value}, \\ g(8{\mathrm{e}}^{-10},{\mathrm{e}}^{-5})=5{\mathrm{e}}^{-10}-4{\left({\mathrm{e}}^{-5}\right)}^2+8{\mathrm{e}}^{-10}\ln {\mathrm{e}}^{-5}=-39e^{-10} \end{gathered}$$

The given function does not have absolute maximum or absolute minimum points.