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$\mathrm{f}(\mathrm{x},\mathrm{y})={\mathrm{x}}^3+{\mathrm{y}}^3鈭�6{\mathrm{x}}^2+3{\mathrm{y}}^2-4.$

$$\begin{gathered} \mathrm{Given}\mathrm{function}\mathrm{is}\mathrm{f}(\mathrm{x},\mathrm{y})={\mathrm{x}}^3+{\mathrm{y}}^3鈭�6{\mathrm{x}}^2+3{\mathrm{y}}^2-4,\mathrm{which}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{polynomial}\mathrm{and}\mathrm{hence}\mathrm{differentiable}. \\ \mathrm{The}\mathrm{gradient}\mathrm{of}\mathrm{this}\mathrm{function}\mathrm{is} \\ 鈭�\mathrm{f}(\mathrm{x},\mathrm{y})=\frac{鈭�\mathrm{f}}{鈭�\mathrm{x}}\mathrm{i}+\frac{鈭�\mathrm{f}}{鈭�\mathrm{y}}\mathrm{j}=(3{\mathrm{x}}^2-12\mathrm{x})\mathrm{i}+(3{\mathrm{y}}^2+6\mathrm{y})\mathrm{j} \\ \mathrm{At}\mathrm{the}\mathrm{critical}\mathrm{points}\mathrm{the}\mathrm{gradient}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{function}\mathrm{vanishes},\mathrm{that}\mathrm{is}鈭�\mathrm{f}(\mathrm{x},\mathrm{y})=0. \\ \mathrm{from}\mathrm{the}\mathrm{above}\mathrm{the}\mathrm{critical}\mathrm{points}\mathrm{are}\mathrm{given}\mathrm{by}3{\mathrm{x}}^2-12\mathrm{x}=0...\left(1\right)\mathrm{and}3{\mathrm{y}}^2+6\mathrm{y}=0.....\left(2\right) \\ \mathrm{from}\left(1\right)3{\mathrm{x}}^2-12\mathrm{x}=0,\mathrm{the}\mathrm{roots}\mathrm{of}\mathrm{which}\mathrm{are}\mathrm{x}=0,4 \\ \mathrm{from}\left(1\right)3{\mathrm{y}}^2+6\mathrm{y}=0,\mathrm{the}\mathrm{roots}\mathrm{of}\mathrm{which}\mathrm{are}\mathrm{y}=0,-2 \\ \mathrm{Solving}\mathrm{these},\mathrm{critical}\mathrm{point}\mathrm{as}(0,0),(0,-2),(4,0),(4,-2). \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{Now}\mathrm{the}\mathrm{second}\mathrm{order}\mathrm{derivatives}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{are} \\ \frac{{鈭�}^2\mathrm{f}}{鈭�{\mathrm{x}}^2}=6\mathrm{x}-12,\frac{{鈭�}^2\mathrm{f}}{鈭�{\mathrm{y}}^2}=6\mathrm{y}+6,\frac{{鈭�}^2\mathrm{f}}{鈭�{\mathrm{y}}^{}鈭�\mathrm{x}}=-0. \\ \mathrm{Hence}\mathrm{the}\mathrm{discriminate}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{is} \\ {\mathrm{H}}_{\mathrm{f}}(\mathrm{x},\mathrm{y})=\frac{{鈭�}^2\mathrm{f}}{鈭�{\mathrm{x}}^2}\frac{{鈭�}^2\mathrm{f}}{鈭�{\mathrm{y}}^2}-{\left(\frac{{鈭�}^2\mathrm{f}}{鈭�{\mathrm{y}}^{}鈭�\mathrm{x}}\right)}^2=(6\mathrm{x}-12)(6+6\mathrm{y})-{\left(0\right)}^2=36(\mathrm{xy}+\mathrm{x}-2\mathrm{y}-2). \\ \mathrm{At}(0,0),{\mathrm{H}}_{\mathrm{f}}(0,0)=-72<0 \\ \mathrm{So}\mathrm{the}\mathrm{critical}\mathrm{point}\boxed{(0,0)}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{saddle}\mathrm{point}. \\ \mathrm{At}(0,-2),{\mathrm{H}}_{\mathrm{f}}(0,-2)=72>0 \\ \mathrm{also}\mathrm{at}(0,-2)\frac{{鈭�}^2\mathrm{f}}{鈭�{\mathrm{x}}^2}=-12<0,\frac{{鈭�}^2\mathrm{f}}{鈭�{\mathrm{y}}^2}=-6<0 \\ \mathrm{Therefore}\mathrm{the}\mathrm{critical}\mathrm{point}\mathrm{is}\boxed{\left(0,-2\right)}\mathrm{is}\mathrm{local}\mathrm{maxima}. \\ \mathrm{At}(4,0),{\mathrm{H}}_{\mathrm{f}}(4,0)=72>0 \\ \mathrm{also}\mathrm{at}(4,0)\frac{{鈭�}^2\mathrm{f}}{鈭�{\mathrm{x}}^2}=12>0,\frac{{鈭�}^2\mathrm{f}}{鈭�{\mathrm{y}}^2}=6>0 \\ \mathrm{Therefore}\mathrm{the}\mathrm{critical}\mathrm{point}\mathrm{is}\boxed{\left(4,0\right)}\mathrm{is}\mathrm{local}\mathrm{minima}. \\ \mathrm{At}(4,-2),{\mathrm{H}}_{\mathrm{f}}(4,-2)=-72<0 \\ \mathrm{So}\mathrm{the}\mathrm{critical}\mathrm{point}\boxed{(4,-2)}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{saddle}\mathrm{point}. \end{gathered}$$