91Ó°ÊÓ

$\mathrm{f}(\mathrm{x},\mathrm{y})={\mathrm{x}}^3−12\mathrm{xy}−{\mathrm{y}}^3.$

$$\begin{gathered} \mathrm{Given}\mathrm{function}\mathrm{is}\mathrm{f}(\mathrm{x},\mathrm{y})={\mathrm{x}}^3−12\mathrm{xy}−{\mathrm{y}}^3.,\mathrm{which}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{polynomial}\mathrm{and}\mathrm{hence}\mathrm{differentiable}. \\ \mathrm{The}\mathrm{gradient}\mathrm{of}\mathrm{this}\mathrm{function}\mathrm{is} \\ ∇\mathrm{f}(\mathrm{x},\mathrm{y})=\frac{∂\mathrm{f}}{∂\mathrm{x}}\mathrm{i}+\frac{∂\mathrm{f}}{∂\mathrm{y}}\mathrm{j}=(3{\mathrm{x}}^2-12\mathrm{y})\mathrm{i}+(-12\mathrm{x}-3{\mathrm{y}}^2)\mathrm{j} \\ \mathrm{At}\mathrm{the}\mathrm{critical}\mathrm{points}\mathrm{the}\mathrm{gradient}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{function}\mathrm{vanishes},\mathrm{that}\mathrm{is}∇\mathrm{f}(\mathrm{x},\mathrm{y})=0. \\ \mathrm{from}\mathrm{the}\mathrm{above}\mathrm{the}\mathrm{critical}\mathrm{points}\mathrm{are}\mathrm{given}\mathrm{by}3{\mathrm{x}}^2-12\mathrm{y}=0...\left(1\right)\mathrm{and}-12\mathrm{x}-3{\mathrm{y}}^2=0.....\left(2\right) \\ \mathrm{from}\left(1\right)\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{x}}^2}{4},\mathrm{use}\mathrm{in}\left(2\right)\mathrm{gives} \\ 4\mathrm{x}+{\left(\frac{{\mathrm{x}}^2}{4}\right)}^2=0 \\ ⇒64\mathrm{x}+{\mathrm{x}}^4=0\mathrm{simplifying} \\ ⇒\mathrm{x}(\mathrm{x}+4)({\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+16)=0\mathrm{factorising} \\ ⇒\mathrm{x}=0,-4.\mathrm{the}\mathrm{only}\mathrm{real}\mathrm{root}. \\ \mathrm{When}\mathrm{x}=0,\mathrm{y}=0\mathrm{and}\mathrm{when}\mathrm{x}=-4,\mathrm{y}=-4. \\ \mathrm{Solving}\mathrm{these}\mathrm{two}\mathrm{gives}\mathrm{critical}\mathrm{point}\mathrm{as}(0,0),(-4,-4). \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{Now}\mathrm{the}\mathrm{second}\mathrm{order}\mathrm{derivatives}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{are} \\ \frac{{∂}^2\mathrm{f}}{∂{\mathrm{x}}^2}=6\mathrm{x},\frac{{∂}^2\mathrm{f}}{∂{\mathrm{y}}^2}=-6\mathrm{y},\frac{{∂}^2\mathrm{f}}{∂{\mathrm{y}}^{}∂\mathrm{x}}=-12. \\ \mathrm{Hence}\mathrm{the}\mathrm{discriminate}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{is} \\ {\mathrm{H}}_{\mathrm{f}}(\mathrm{x},\mathrm{y})=\frac{{∂}^2\mathrm{f}}{∂{\mathrm{x}}^2}\frac{{∂}^2\mathrm{f}}{∂{\mathrm{y}}^2}-{\left(\frac{{∂}^2\mathrm{f}}{∂{\mathrm{y}}^{}∂\mathrm{x}}\right)}^2=6\mathrm{x}(-6\mathrm{y})-{(-12)}^2=-36\mathrm{xy}-144. \\ \mathrm{At}(0,0),{\mathrm{H}}_{\mathrm{f}}(0,0)=-144<0 \\ \mathrm{So}\mathrm{the}\mathrm{critical}\mathrm{point}\boxed{(0,0)}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{saddle}\mathrm{point}. \\ \mathrm{At}(-4,-4),{\mathrm{H}}_{\mathrm{f}}(-4,-4)=432>0 \\ \mathrm{also}\mathrm{at}(-4,-4)\frac{{∂}^2\mathrm{f}}{∂{\mathrm{x}}^2}=24>0,\frac{{∂}^2\mathrm{f}}{∂{\mathrm{y}}^2}=24>0 \\ \mathrm{Therefore}\mathrm{the}\mathrm{local}\mathrm{minima}\mathrm{point}\mathrm{for}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{is}\boxed{\left(-4,-4\right)} \end{gathered}$$