91Ó°ÊÓ

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{region}\mathrm{bounded}\mathrm{by}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={(\mathrm{x}-2)}^2\mathrm{and}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x},\mathrm{between}\mathrm{the}\mathrm{interval}[1,4], \\ \mathrm{is}\mathrm{rotated}\mathrm{around}\mathrm{the}\mathrm{vertical}\mathrm{line},\mathrm{x}=1. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={(\mathrm{x}-2)}^2\mathrm{y}={(\mathrm{x}-2)}^2\mathrm{x}=2+\sqrt{\mathrm{y}} \\ \mathrm{p}\left(\mathrm{y}\right)=2+\sqrt{\mathrm{y}} \\ \mathrm{Determining}\mathrm{the}\mathrm{inverse}\mathrm{of}\mathrm{other}\mathrm{function}\mathrm{also}, \\ \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x} \\ \mathrm{y}=\mathrm{x} \\ \mathrm{x}=y \\ \mathrm{q}\left(\mathrm{y}\right)=y \end{gathered}$$

$\mathrm{For}\mathrm{the}\mathrm{x}-\mathrm{interval}\mathrm{of}[1,4],\mathrm{the}\mathrm{corresponding}\mathrm{interval}\mathrm{of}\mathrm{y}-\mathrm{variable}\mathrm{will}\mathrm{be}[0,4]$

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{region}\mathrm{in}\mathrm{this}\mathrm{figure}\mathrm{will}\mathrm{form}\mathrm{two}\mathrm{types}\mathrm{of}\mathrm{washers}\mathrm{when}\mathrm{rotated}\mathrm{around}\mathrm{y}-\mathrm{axis}. \\ \mathrm{In}\mathrm{the}\mathrm{first}\mathrm{interval}[0,1],\mathrm{the}\mathrm{curve}\mathrm{p}\left(\mathrm{y}\right)\mathrm{changes}\mathrm{its}\mathrm{direction}\mathrm{at}\mathrm{x}=2\mathrm{and}\mathrm{creates}\mathrm{both} \\ \mathrm{internal}\mathrm{and}\mathrm{external}\mathrm{radii}\mathrm{of}\mathrm{washer}. \\ \mathrm{To}\mathrm{overcome}\mathrm{this}\mathrm{difficulty},\mathrm{consider}\mathrm{the}\mathrm{solid}\mathrm{formed}\mathrm{by}\mathrm{rotating}\mathrm{the}\mathrm{region}\mathrm{between}\mathrm{curve} \\ \mathrm{p}\left(\mathrm{y}\right)\mathrm{and}\mathrm{x}=2\mathrm{around}\mathrm{y}-\mathrm{axis}.\mathrm{The}\mathrm{required}\mathrm{volume}\mathrm{is}\mathrm{twice}\mathrm{the}\mathrm{volume}\mathrm{of}\mathrm{this}\mathrm{solid}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{For}\mathrm{the}\mathrm{washer}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{y}-\mathrm{interval}\mathrm{of}[0,1],\mathrm{the}\mathrm{external}\mathrm{radius}\mathrm{of}\mathrm{is}\mathrm{p}\left(\mathrm{y}\right)-1\mathrm{and}\mathrm{internal}\mathrm{radius}\mathrm{is}1. \\ \mathrm{The}\mathrm{volume}\mathrm{of}\mathrm{washer}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{by}: \\ \mathrm{V}=\mathrm{π}{∫}_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\left({\left(\mathrm{R}\left(\mathrm{y}\right)\right)}^2-{\left(\mathrm{r}\left(\mathrm{y}\right)\right)}^2\right)\mathrm{dy} \\ \mathrm{Using}\mathrm{this}\mathrm{definition}\mathrm{to}\mathrm{determine}\mathrm{the}\mathrm{volume}\mathrm{of}\mathrm{solid}\mathrm{of}\mathrm{revolution}, \\ \mathrm{V}=2\mathrm{π}{∫}_0^1\left({\left(\mathrm{p}\left(\mathrm{y}\right)-1\right)}^2-{\left(1\right)}^2\right)\mathrm{dy} \\ \mathrm{V}=2\mathrm{π}{∫}_0^1\left({\left(2+\sqrt{\mathrm{y}}-1\right)}^2-{\left(1\right)}^2\right)\mathrm{dy} \\ \mathrm{V}=2\mathrm{π}{∫}_0^1\left(1+\mathrm{y}+2\sqrt{\mathrm{y}}-1\right)\mathrm{dy} \\ \mathrm{V}=2\mathrm{π}{∫}_0^1\left(\mathrm{y}+2\sqrt{\mathrm{y}}\right)\mathrm{dy} \\ \mathrm{For}\mathrm{the}\mathrm{second}\mathrm{washer}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{y}-\mathrm{interval}\mathrm{of}[1,4],\mathrm{the}\mathrm{external}\mathrm{radius}\mathrm{of}\mathrm{is}\mathrm{p}\left(\mathrm{y}\right)-1\mathrm{and}\mathrm{interna}l \\ \mathrm{radius}\mathrm{is}\mathrm{q}\left(\mathrm{y}\right)-1. \\ \mathrm{The}\mathrm{volume}\mathrm{of}\mathrm{washer}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{by}: \\ \mathrm{V}=\mathrm{π}{∫}_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\left({\left(\mathrm{R}\left(\mathrm{y}\right)\right)}^2-{\left(\mathrm{r}\left(\mathrm{y}\right)\right)}^2\right)\mathrm{dy} \\ \mathrm{Using}\mathrm{this}\mathrm{definition}\mathrm{to}\mathrm{determine}\mathrm{the}\mathrm{volume}\mathrm{of}\mathrm{solid}\mathrm{of}\mathrm{revolution}, \\ \mathrm{V}=\mathrm{π}{∫}_1^4\left({\left(\mathrm{p}\left(\mathrm{y}\right)-1\right)}^2-{\left(\mathrm{q}\left(\mathrm{y}\right)-1\right)}^2\right)\mathrm{dy} \\ \mathrm{V}=\mathrm{π}{∫}_1^4\left({\left(2+\sqrt{\mathrm{y}}-1\right)}^2-{\left(\mathrm{y}-1\right)}^2\right)\mathrm{dy} \\ \mathrm{V}=\mathrm{π}{∫}_1^4\left(1+\mathrm{y}+2\sqrt{\mathrm{y}}-{\mathrm{y}}^2-1+2\mathrm{y}\right)\mathrm{dy} \\ \mathrm{V}=\mathrm{π}{∫}_1^4\left(3\mathrm{y}+2\sqrt{\mathrm{y}}-{\mathrm{y}}^2\right)\mathrm{dy} \\ \mathrm{Adding}\mathrm{the}\mathrm{two}\mathrm{integrals}\mathrm{formed}\mathrm{above}: \\ \mathrm{V}=2\mathrm{π}{∫}_0^1\left(\mathrm{y}+2\sqrt{\mathrm{y}}\right)\mathrm{dy}+\mathrm{π}{∫}_1^4\left(3\mathrm{y}+2\sqrt{\mathrm{y}}-{\mathrm{y}}^2\right)\mathrm{dy} \\ \mathrm{V}=2\mathrm{π}{\left[\frac{{\mathrm{y}}^2}{2}+2\frac{{\mathrm{y}}^{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}}{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}\right]}_0^1+\mathrm{π}{\left[\frac{3{\mathrm{y}}^2}{2}+2\frac{{\mathrm{y}}^{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}}{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}-\frac{{\mathrm{y}}^3}{3}\right]}_1^4 \\ \mathrm{V}=2\mathrm{π}\left[\left(\frac{1}{2}+\frac{4}{3}\right)-\left(0\right)\right]+\mathrm{π}\left[\left(24+\frac{32}{3}-\frac{64}{3}\right)-\left(\frac{3}{2}+\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\right)\right] \\ \mathrm{V}=2\mathrm{π}\left[\left(\frac{11}{6}\right)\right]+\mathrm{π}\left[\left(\frac{65}{6}\right)\right] \\ \mathrm{V}=\frac{76}{6}\mathrm{π} \end{gathered}$$