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Es sei \(G\) der Ring der ganzen Funktionen einer komplexen Veränderlichen \(z\). Man zeige: (a) \(G\) ist ein Integritätsbereich. (b) \(G^{\times}=\left\\{f \in G \mid\right.\) Es gibt \(h \in G\) mit \(\left.f(z)=\mathrm{e}^{h(z)}\right\\}\). (c) Für \(f \in G\) gilt: \(f\) ist Primelement \(\Leftrightarrow f\) ist unzerlegbar \(\Leftrightarrow\) Es gibt \(c \in \mathbb{C}\) und \(g \in G^{\times}\)mit \(f(z)=(z-c) g(z)\) (d) \(G\) ist nicht faktoriell.

Zeigen Sie, dass die Elemente 9 und \(3(2+\sqrt{-5})\) aus \(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\) kein \(\mathrm{kgV}\) besitzen.

(a) Beweisen Sie, dass das Polynom \(a X^{2}+b X+c\) vom Grad 2 über einem Körper \(K\) mit Char \(K \neq 2\) genau dann irreduzibel ist, wenn \(b^{2}-4 a c\) kein Quadrat in \(K\) ist. (b) Zeigen Sie, dass \(3 X^{2}+4 X+3\) als Polynom über \(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\) irreduzibel, aber reduzibel über \(\mathbb{Q}[\sqrt{-5}]\) ist.

Wir betrachten den Ring \(R=\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]\). Zeigen Sie: (a) \(R^{\times}=\\{\pm 1\\} .\) (b) Das Element \(2 \in R\) ist irreduzibel, aber nicht prim. (c) Der Ring \(R\) ist nicht faktoriell.

Es sei \(R\) ein Integritätsbereich. Wir betrachten den Unterring $$ A:=\left\\{\sum_{i=0}^{n} a_{i} X^{i} \in R[X] \mid n \in \mathbb{N}, a_{i} \in R, a_{1}=0\right\\} \subseteq R[X] $$ des Polynomrings über \(R\) in der unabhängigen Variablen \(X, v g 1 .\) Aufgabe \(15.16 .\) (a) Zeigen Sie, dass die Elemente \(X^{2}, X^{3} \in A\) beide irreduzibel sind. (b) Zeigen Sie, dass \(X^{2}, X^{3} \in A\) beide nicht prim sind. Ist \(A\) faktoriell? Hinweis: Betrachten Sie Zerlegungen von \(X^{6} \in A\).