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Magazine Problem 1
Zeigen Sie: Jede abelsche Gruppe \(G\), die eine Kompositionsreihe besitzt, ist endlich.
Problem 2
Geben Sie zu den beiden Normalreihen $$ \mathbb{Z} \unrhd 15 \mathbb{Z} \geq 60 \mathbb{Z} \geq\\{0\\} \quad \text { und } \quad \mathbb{Z} \unrhd 12 \mathbb{Z} \unrhd\\{0\\} $$ 盲quivalente Verfeinerungen und die zugeh枚rigen Faktoren an.
Problem 4
Man gebe eine Kompositionsreihe f眉r \(\mathbb{Z}_{p^{k}}\) an ( \(p\) eine Primzahl).
Problem 5
Man bestimme die abgeleitete Reihe $$ D_{n}^{(0)} \unrhd D_{n}^{(1)} \unrhd \cdots $$ f眉r die Diedergruppe \(D_{n}, n \in \mathbb{N}\). F眉r welche \(n\) ist die Diedergruppe \(D_{n}\) aufl枚sbar?
Problem 7
Zeigen Sie, dass jede Gruppe \(G\) der Ordnung \(p^{2} q\) mit Primzahlen \(p, q\) aufl枚sbar ist.
Problem 9
Zeigen Sie, dass die Gruppe \(S_{4}\) aufl枚sbar ist.
Problem 10
Bestimmen Sie die Kommutatorgruppe \(G^{\prime}\) f眉r die Gruppe \(G\) der invertierbaren oberen \((2 \times 2)\)-Dreiecksmatrizen 眉ber dem K枚rper \(K=\mathbb{Z}_{p}, p\) prim: $$ G=\left\\{\left(\begin{array}{ll} a & b \\ 0 & c \end{array}\right) \in K^{2 \times 2} \mid a, c \in K \backslash\\{0\\}, b \in K\right\\} $$
Problem 11
Es sei \(G\) die Gruppe der invertierbaren oberen \((2 \times 2)\)-Dreiecksmatrizen 眉ber einem K枚rper \(K\). (a) Begr眉nden Sie, warum \(G\) aufl枚sbar ist. (b) Es sei weiter \(H\) die Untergruppe von \(G\), die aus allen Elementen von \(G\) mit Determinante 1 besteht. Ist \(H\) aufl枚sbar?
