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The following equation can be written in place of 12-8

${\mathrm{M}}_{\mathrm{free}}+\mathrm{ETDA}饾啅\mathrm{M}\left(\mathrm{ETDA}\right)$

The equilibrium constant can be written as

$$\begin{gathered} {\mathrm{K}}_{\mathrm{f}}^{"}=\frac{\left[\mathrm{M}\left(\mathrm{ETDA}\right)\right]}{{\left[\mathrm{M}\right]}_{\mathrm{free}}\left[\mathrm{ETDA}\right]}---------------\left(1\right) \\ {\left[\mathrm{M}\right]}_{\mathrm{free}}=\mathrm{Concentration}\mathrm{of}\mathrm{all}\mathrm{metals}\mathrm{not}\mathrm{bound}\mathrm{to}\mathrm{ETDA} \\ \left[\mathrm{ETDA}\right]=\mathrm{Concentration}\mathrm{of}\mathrm{all}\mathrm{ETDA}\mathrm{not}\mathrm{bound}\mathrm{to}\mathrm{metals} \\ \left[\mathrm{M}\left(\mathrm{ETDA}\right)\right]={\mathrm{K}}_{\mathrm{F}}^{"}{\left[\mathrm{M}\right]}_{\mathrm{free}}\left[\mathrm{ETDA}\right]--------------\left(2\right) \end{gathered}$$

Mass balance for metal: ${\left[\mathrm{M}\right]}_{\mathrm{free}}+\left[\mathrm{M}\left(\mathrm{EDTA}\right)\right]=\frac{{\mathrm{C}}_{\mathrm{M}}{\mathrm{V}}_{\mathrm{M}}}{{\mathrm{V}}_{\mathrm{M}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{EDTA}}}-----------\left(3\right)$

Mass balance for EDTA: $\left[\mathrm{ETDA}\right]+\left[\mathrm{M}\left(\mathrm{EDTA}\right)\right]=\frac{{\mathrm{C}}_{\mathrm{EDTA}}{\mathrm{V}}_{\mathrm{EDTA}}}{{\mathrm{V}}_{\mathrm{M}}{\mathrm{V}}_{\mathrm{EDTA}}}----------\left(4\right)$

Substituting Eq (2) into Eq (3) we get

$$\begin{gathered} {\left[\mathrm{M}\right]}_{\mathrm{Free}}+{\mathrm{K}}_{\mathrm{f}}^{\mathrm{鈥�}}\left[\mathrm{M}{]}_{\mathrm{ree}}\right[\mathrm{EDTA}]=\frac{{\mathrm{C}}_{\mathrm{M}}{\mathrm{V}}_{\mathrm{M}}}{{\mathrm{V}}_{\mathrm{M}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{EDTA}}} \\ [\mathrm{M}{]}_{\mathrm{Free}}\left(1+{\mathrm{K}}_{\mathrm{f}}^{鈥测赌�}[\mathrm{EDTA}]\right)=\frac{{\mathrm{C}}_{\mathrm{M}}{\mathrm{V}}_{\mathrm{M}}}{{\mathrm{V}}_{\mathrm{M}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{EDTA}}}-----------\left(5\right) \end{gathered}$$

Substituting Eq (2) into Eq (4) we get

$$\begin{gathered} \left[\mathrm{EDTA}\right]+{\mathrm{K}}_{\mathrm{f}}\left[\mathrm{M}{]}_{\mathrm{free}}\right[\mathrm{EDTA}]=\frac{{\mathrm{C}}_{\mathrm{EDTA}}{\mathrm{V}}_{\mathrm{EDTA}}}{{\mathrm{V}}_{\mathrm{M}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{EDTA}}} \\ [\mathrm{EDTA}]\left(1+{\mathrm{K}}_{\mathrm{f}}^{\mathrm{鈥�}}[\mathrm{M}{]}_{\mathrm{fee}}\right)=\frac{{\mathrm{C}}_{\mathrm{EDTA}}{\mathrm{V}}_{\mathrm{EDTA}}}{{\mathrm{V}}_{\mathrm{M}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{EDTA}}} \\ [\mathrm{EDTA}]=\frac{\left(\frac{{\mathrm{C}}_{\mathrm{EDTA}}{\mathrm{V}}_{\mathrm{EDTA}}}{{\mathrm{V}}_{\mathrm{M}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{EDTA}}}\right)}{\left(1+{\mathrm{K}}_{\mathrm{f}}[\mathrm{M}{]}_{\mathrm{free}}\right)}------------\left(6\right) \end{gathered}$$

Substituting Eq(6) into Eq (5)

$$\begin{gathered} [\mathrm{M}{]}_{\mathrm{Free}}\left(1+{\mathrm{K}}_{\mathrm{f}}\frac{\left(\frac{{\mathrm{C}}_{\mathrm{EDTA}}{\mathrm{V}}_{\mathrm{EDTA}}}{{\mathrm{V}}_{\mathrm{M}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{EDTA}}}\right)}{\left(1+{\mathrm{K}}_{\mathrm{f}}[\mathrm{M}{]}_{\mathrm{tee}}\right)}\right)=\frac{{\mathrm{C}}_{\mathrm{M}}{\mathrm{V}}_{\mathrm{M}}}{{\mathrm{V}}_{\mathrm{M}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{EDTA}}} \\ [\mathrm{M}{]}_{\mathrm{Free}}\left(\frac{\left(1+{\mathrm{K}}_{\mathrm{f}}^{\mathrm{鈥�}}[\mathrm{M}{]}_{\mathrm{fee}}\right)\left({\mathrm{V}}_{\mathrm{M}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{EDTA}}\right)+{\mathrm{K}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{EDTA}}{\mathrm{V}}_{\mathrm{EDTA}}}{\left(1+{\mathrm{K}}_{\mathrm{f}}[\mathrm{M}{]}_{\mathrm{free}}\right)\left({\mathrm{V}}_{\mathrm{M}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{EDTA}}\right)}\right)=\frac{{\mathrm{C}}_{\mathrm{M}}{\mathrm{V}}_{\mathrm{M}}}{\left({\mathrm{V}}_{\mathrm{M}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{EDTA}}\right)} \\ \frac{1}{[\mathrm{M}{]}_{\mathrm{Free}}}\left(\frac{\left(1+{\mathrm{K}}_{\mathrm{f}}[\mathrm{M}{]}_{\mathrm{tree}}\right){\mathrm{C}}_{\mathrm{EDTA}}{\mathrm{V}}_{\mathrm{EDTA}}}{\left(1+{\mathrm{K}}_{\mathrm{f}}[\mathrm{M}{]}_{\mathrm{tee}}\right)\left({\mathrm{V}}_{\mathrm{M}}+{\mathrm{V}}_{\mathrm{EDTA}}\right)+{\mathrm{K}}_{\mathrm{f}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{EDTA}}{\mathrm{V}}_{\mathrm{EDTA}}}\right)=\frac{{\mathrm{C}}_{\mathrm{EDTA}}{\mathrm{V}}_{\mathrm{EDTA}}}{{\mathrm{C}}_{\mathrm{M}}{\mathrm{V}}_{\mathrm{M}}} \\ \frac{1+{\mathrm{K}}_{\mathrm{f}}^{\mathrm{鈥�}}[\mathrm{M}{]}_{\mathrm{ree}}鈭�\frac{[\mathrm{M}{]}_{\mathrm{tree}}+{\mathrm{K}}_{\mathrm{f}}^{\mathrm{鈥�}}[\mathrm{M}{]}_{\mathrm{ree}}}{{\mathrm{C}}_{\mathrm{M}}}}{{\mathrm{K}}_{\mathrm{f}}[\mathrm{M}{]}_{\mathrm{free}}+\frac{[\mathrm{M}{]}_{\mathrm{tee}}+{\mathrm{K}}_{\mathrm{f}}^{\mathrm{鈥�}}[\mathrm{M}{]}_{\mathrm{free}}^2}{{\mathrm{C}}_{\mathrm{EDTA}}}}=\frac{{\mathrm{C}}_{\mathrm{EDTA}}{\mathrm{V}}_{\mathrm{EDTA}}}{{\mathrm{C}}_{\mathrm{M}}{\mathrm{V}}_{\mathrm{M}}} \\ \frac{1+{\mathrm{K}}_{\mathrm{f}}^{\mathrm{鈥�}}[\mathrm{M}{]}_{\mathrm{tee}}鈭�\frac{[\mathrm{M}{]}_{\mathrm{free}}+{\mathrm{K}}_{\mathrm{f}}[\mathrm{M}{]}_{\mathrm{fee}}}{{\mathrm{C}}_{\mathrm{M}}}}{{\mathrm{K}}_{\mathrm{f}}[\mathrm{M}{]}_{\mathrm{free}}+\frac{[\mathrm{M}{]}_{\mathrm{tee}}+{\mathrm{K}}_{\mathrm{f}}^{\mathrm{鈥�}}[\mathrm{M}{]}_{\mathrm{fee}}^2}{{\mathrm{C}}_{\mathrm{EDTA}}}}=\mathrm{蠒} \end{gathered}$$

Therefore, the expression given in the question is proved.