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Chapter 5: Problem 4

L?sen Sie die folgenden Differentialgleichungen 1. Ordnung durch Trennung der Variablen: a) \(x^{2} y^{\prime}=y^{2}\) b) \(y^{\prime}\left(1+x^{2}\right)=x y\) c) \(\quad y^{\prime}=(1-y)^{2}\) d) \(y^{\prime} \cdot \sin y=-x\)

Short Answer

Expert verified
Solutions for the equations are: a) \(y = \frac{x}{1 + Cx}\) b) \(y = A \cdot \sqrt{1+x^{2}}\) c) \(y = 1-\frac{1}{C+x}\) d) \(\ln|\csc y - \cot y| = -\frac{x^{2}}{2} + C\)

Step by step solution

01

Separate Variables for Equation (a)

Given the equation: \(x^{2} y^{\textprime}=y^{2}\)Rewrite it to separate the variables:\(\frac{y^{\textprime}}{y^{2}} = \frac{1}{x^{2}}\)
02

Integrate Both Sides for Equation (a)

Integrate both sides:\(\int y^{-2}\,dy = \int x^{-2}\,dx\)This gives:\(-y^{-1} = -\frac{1}{x} + C\)So,\(\frac{1}{y} = \frac{1}{x} + C\)
03

Solve for y for Equation (a)

Rewrite the integrated result to solve for \(y\):\(y = \frac{1}{\frac{1}{x} + C} = \frac{x}{1 + Cx}\)
04

Separate Variables for Equation (b)

Given the equation: \(y^{\textprime}(1+x^{2})=xy\)Rewrite it to separate the variables:\(\frac{y^{\textprime}}{y} = \frac{x}{1+x^{2}}\)
05

Integrate Both Sides for Equation (b)

Integrate both sides:\(\int \frac{1}{y} \, dy = \int \frac{x}{1+x^{2}} \, dx\)This gives:\(\ln|y| = \frac{1}{2}\ln|1+x^{2}| + C\)Exponentiate both sides:\(y = e^{C} \cdot \sqrt{1+x^{2}}\)Let \(A = e^{C}\):\(y = A \cdot \sqrt{1+x^{2}}\)
06

Separate Variables for Equation (c)

Given the equation: \(y^{\textprime}=(1-y)^{2}\)Rewrite it to separate the variables:\(\frac{y^{\textprime}}{(1-y)^{2}} = 1\)
07

Integrate Both Sides for Equation (c)

Integrate both sides:\(\int (1-y)^{-2} \, dy = \int 1 \, dx\)This gives:\(-\frac{1}{1-y} = x + C\)Rewrite it:\(\frac{1}{1-y} = -x - C\)
08

Solve for y for Equation (c)

Solve for \(y\) by rearranging the equation:\(1-y = \frac{1}{-x-C}\)So,\(y = 1-\frac{1}{C+x}\)
09

Separate Variables for Equation (d)

Given the equation:\(y^{\textprime} \cdot \sin y=-x\)Rewrite it to separate the variables:\(\frac{y^{\textprime}}{\sin y} = -x\)
10

Integrate Both Sides for Equation (d)

Integrate both sides:\(\int \csc y \, dy = -\int x \, dx\)This gives:\(\ln|\csc y - \cot y| = -\frac{x^{2}}{2} + C\)

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Key Concepts

These are the key concepts you need to understand to accurately answer the question.

Trennung der Variablen
Die Trennung der Variablen ist ein grundlegender Schritt bei der L枚sung von Differentialgleichungen erster Ordnung. Dies bedeutet, dass man die Gleichung so umformt, dass alle Terme, die die unabh盲ngige Variable (meistens x) enthalten, auf einer Seite stehen und alle Terme, die die abh盲ngige Variable (meistens y) enthalten, auf der anderen Seite stehen.

Lassen Sie uns dies anhand der Gleichung (a) zeigen:

Gegeben sei die Gleichung: \(x^{2} \frac{dy}{dx} = y^{2}\).

Wir k枚nnen sie umschreiben, um Variablen zu trennen: \(\frac{1}{y^{2}} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^{2}}\) oder \(\frac{dy}{y^{2}} = \frac{dx}{x^{2}}\).

Nun sind die Variablen y auf der einen Seite und die Variablen x auf der anderen Seite getrennt. Dieser Schritt vereinfacht die weitere Bearbeitung deutlich.
Integration
Nach dem Trennen der Variablen ist der n盲chste Schritt die Integration. Das Ziel ist es, die Gleichung zu integrieren und eine allgemeine L枚sung zu finden.

Beispielsweise integrieren wir beide Seiten der umgeschriebenen Gleichung (a):

\(\frac{dy}{y^{2}} = \frac{dx}{x^{2}}\)

Durch die Integration erhalten wir folgendes:

\(\begin{aligned} \int \frac{1}{y^{2}} \, dy = \int \frac{1}{x^{2}} \, dx\end{aligned}\)

Dies f眉hrt zu: \(- \frac{1}{y} = -\frac{1}{x} + C\).

So lautet die allgemeine L枚sung der urspr眉nglichen Differentialgleichung, bevor wir die Konstantenwerte pr眉fen.
L枚sung von Differentialgleichungen
Nachdem die Variablen getrennt und integriert wurden, besteht der letzte Schritt darin, die Gleichung so umzuformen, dass die urspr眉ngliche abh盲ngige Variable (meist y) isoliert wird.

F眉hrung Sie diesen Schritt anhand der Gleichung (a) weiter: \(\frac{1}{y} = \frac{1}{x} + C\).

In diesem Fall k枚nnen wir nach y aufl枚sen:
\(\frac{1}{y} = \frac{1}{x} + C\) oder \(\frac{1}{y} = \frac{1 + Cx}{x}\).

Schlie脽lich erhalten wir: \y = \frac{x}{1 + Cx}\.

Dies ist die vollst盲ndige L枚sung der urspr眉nglichen Differentialgleichung. Jeder Differentialgleichungstyp kann anders aussehen, aber die Schritte zur L枚sung (Trennen der Variablen, Integrieren und Umformen) bleiben 盲hnlich.

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Ein schwingungst?higes mechanisches Feder-Masse-System mit den Kenngr枚Ben $$ m=20 \mathrm{~kg} . \quad b=40 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, \quad c=100 \mathrm{~N} / \mathrm{m} $$ werde in einem Experiment durch die von au\betaen einwirkende Kraft $$ F(t)=20 \mathrm{~N} \cdot \sin (\omega t) $$ zu erzwungenen Schwingungen erregt. a) Bestimmen Sie die allgemeine L枚sung der Schwingungsgleichung. b) Wie lautet die station盲re L?sung der Schwingungsgleichung? Zeichnen Sie die Resonanzkurve \(A=A(\omega)\) sowie den Frequenzgang der Phasenverschiebung \(\varphi\) zwischen Erregerschwingung und erzwungener Schwingung. c) Bestimmen und skizzieren Sie die station盲re L?sung fur die Erregerkreisfrequenz \(\omega=1 \mathrm{~s}^{-1}\).

Ein Stromkreis mit einem zeitabh盲ngigen ohmschen Widerstand werde durch die Differentialgleichung 1. Ordnung $$ \frac{d i}{d t}+(2 \cdot \sin t) \cdot i=\sin (2 t) \quad(t \geqslant 0) $$ beschrieben. Ermitteln Sie den zeitlichen Verlauf der Stromst盲rke \(i\) durch Variation der Konstanten f眉r den Anfangswert \(l(0)=0\).

Ein Kondensator der Kapazit?t \(C\) wird zun?chst auf die Spannung \(u_{0}\) aufgeladen und dann 眉ber einen ohmschen Widerstand \(R\) entladen. Die Differentialgleichung f眉r diesen zur Zeit \(t=0\) einsetzenden Ausschaltvorgang lautet: $$ R C \frac{d u_{C}}{d t}+u_{C}=0 $$ Berechnen Sie den zeitlichen Verlauf der Kondensatorspannung \(u_{C}=u_{C}(t)\) durch Trennung der Variablen.

Welche allgemeinen L?sungen besitzen die folgenden inhomogenen linearen Differentialgleichungen 4 . und 5 . Ordnung: a) \(y^{(4)}+2 y^{\prime \prime}+y=8 \cdot \sin x+x^{2}+4\) b) \(y^{(5)}+3 y^{(4)}+3 y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}=2(\sin x+\cos x+1)\)

Bestimmen Sie die allgemeine L枚sung der folgenden Systeme inhomogener linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung nach dem Einsetzungs- oder Eliminationsverfahren: a) $$ \begin{aligned} &y_{1}^{\prime}=-2 y_{1}-2 y_{2}+\mathrm{e}^{x} \\ &y_{2}^{\prime}=5 y_{1}+4 y_{2} \end{aligned} $$ b) \(\left(\begin{array}{l}y_{1}^{\prime} \\\ y_{2}^{\prime}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}-3 & -2 \\ 2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}y_{1} \\\ y_{2}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}3 x \\ 2 x\end{array}\right)\) c) \(\left(\begin{array}{l}\dot{x}_{1} \\\ \dot{x}_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}3 & -1 \\ -1 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2}\end{array}\right)+8\left(\begin{array}{c}\mathrm{e}^{3 i} \\\ 1\end{array}\right)\)
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