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The given expression is$∫{\mathrm{e}}^{(\mathrm{a}+\mathrm{ib})\mathrm{x}}\mathrm{dx}$ .

Representing the complex number in rectangular form means writing the given complex number in the form of $\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{iy}$, in which is the real part and y is the imaginary part.

The given question is $∫e^{(a+ib)x}dx$.

role="math" localid="1658833021638" $$\begin{gathered} ∫e^{(a+ib)x}dx=\frac{e^{{}^{(a+ib)x}}}{a+ib} \\ ∫e^{(a+ib)x}dx=\frac{e^{ax}â‹\dots e^{ibx}}{a+ib} \\ ∫e^{(a+ib)x}dx=\frac{e^{ax}[\cos bx+i\sin bx]}{a+ib} \end{gathered}$$

Multiply the numerator and the denominator with the complex conjugate.

$$\begin{gathered} ∫{\mathrm{e}}^{(\mathrm{a}+\mathrm{ib})\mathrm{x}}\mathrm{dx}=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}\left[\mathrm{a}\cos \mathrm{b}\mathrm{x}+\mathrm{i}\sin \mathrm{b}\mathrm{x}\right]}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}×\frac{\mathrm{a}-\mathrm{ib}}{\mathrm{a}-\mathrm{ib}} \\ ∫{\mathrm{e}}^{(\mathrm{a}+\mathrm{ib})\mathrm{x}}\mathrm{dx}=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}\left[\mathrm{a}\cos \mathrm{b}\mathrm{x}+\mathrm{ai}\sin \mathrm{b}\mathrm{x}-\mathrm{ib}\cos \mathrm{bx}+\mathrm{b}\sin \mathrm{b}\mathrm{x}\right]}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2} \\ ∫{\mathrm{e}}^{(\mathrm{a}+\mathrm{ib})\mathrm{x}}\mathrm{dx}=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}\left(\mathrm{a}\cos \mathrm{b}\mathrm{x}+\mathrm{i}\sin \mathrm{b}\mathrm{x}\right)+{\mathrm{ie}}^{\mathrm{ax}}\left(\mathrm{a}\sin \mathrm{b}\mathrm{x}-\mathrm{b}\cos \mathrm{bx}\right)}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2} \end{gathered}$$........(1)

$$\begin{gathered} ∫{\mathrm{e}}^{(\mathrm{a}+\mathrm{ib})\mathrm{x}}\mathrm{dx}=∫{\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}â‹\dots {\mathrm{e}}^{\mathrm{ibx}}\mathrm{dx} \\ ∫{\mathrm{e}}^{(\mathrm{a}+\mathrm{ib})\mathrm{x}}\mathrm{dx}=∫{\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}(\cos \mathrm{b}\mathrm{x}+\mathrm{i}\sin \mathrm{b}\mathrm{x})\mathrm{dx} \\ ∫{\mathrm{e}}^{(\mathrm{a}+\mathrm{ib})\mathrm{x}}\mathrm{dx}=∫{\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}\cos \mathrm{b}\mathrm{x}\mathrm{dx}+\mathrm{i}∫{\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}\sin \mathrm{b}\mathrm{x}\mathrm{dx}.......\left(2\right) \end{gathered}$$

Using equation (1) and (2).

$∫{\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}\cos \mathrm{b}\mathrm{x}\mathrm{dx}+\mathrm{i}∫{\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}\sin \mathrm{b}\mathrm{x}\mathrm{dx}=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}(\mathrm{a}\cos \mathrm{b}\mathrm{x}+\mathrm{b}\sin \mathrm{b}\mathrm{x})+{\mathrm{ie}}^{\mathrm{ax}}(\mathrm{a}\sin \mathrm{b}\mathrm{x}-\mathrm{b}\cos \mathrm{b}\mathrm{x})}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}$

Equate the real part on both sides.

$∫e^{ax}cosbxdx=\frac{e^{ax}(a\cos bx+b\sin bx)}{a^2+b^2}$

Therefore, the evaluation of $∫{\mathrm{e}}^{(\mathrm{a}+\mathrm{ib})\mathrm{x}}\mathrm{dx}=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}(\mathrm{a}\cos \mathrm{b}\mathrm{x}+\mathrm{b}\sin \mathrm{b}\mathrm{x})+{\mathrm{ie}}^{\mathrm{ax}}\left(\mathrm{a}\sin \mathrm{b}\mathrm{x}-\mathrm{b}\cos \mathrm{bx})\right)}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}$and the function$∫{\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}\cos \mathrm{b}\mathrm{xdx}=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{ax}}(\mathrm{a}\cos \mathrm{b}\mathrm{x}+\mathrm{b}\sin \mathrm{b}\mathrm{x})}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}$ has been showed.