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Write the expression for potential at a distance r,

$\mathbf{V}\left(r,\mathrm{θ}\right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}{\mathbf{Ï€Î\mu }}_{\mathbf{0}}}\underset{\mathbf{n}\mathbf{=}\mathbf{0}}{\overset{\mathbf{∞}}{\mathbf{∑}}}\frac{{\mathbf{P}}_{\mathbf{n}}\left(\mathrm{³¦´Ç²õθ}\right)}{{\mathbf{r}}^{\mathbf{n}\mathbf{+}\mathbf{1}}}{\mathbf{∫}}_{\mathbf{-}\mathbf{a}}^{\mathbf{+}\mathbf{a}}{\mathbf{z}}^{\mathbf{n}}\mathbf{λ}\left(z\right)\mathbf{dZ}$ …… (1)

This is for an insulating rod running from z=-a to z=+a.

a)

Consider the integral, from equation (1),

$$\begin{gathered} {\mathrm{I}}_{\mathrm{n}}={∫}_{-\mathrm{a}}^{+\mathrm{a}}{\mathrm{Z}}^{\mathrm{n}}\mathrm{λ}\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dZ} \\ ={∫}_{-\mathrm{a}}^{+\mathrm{a}}{\mathrm{Z}}^{\mathrm{n}}\mathrm{K}\cos \left(\mathrm{Ï€³ú}/2\mathrm{a}\right)\mathrm{dZ} \\ \mathrm{If}\mathrm{n}=0,\mathrm{then} \\ {\mathrm{I}}_0=\mathrm{K}{∫}_{-\mathrm{a}}^{+\mathrm{a}}{\mathrm{Z}}^{\left(0\right)}\mathrm{K}\cos \left(\mathrm{Ï€³ú}/2\mathrm{a}\right)\mathrm{dZ} \\ {\mathrm{I}}_0={\left[\frac{2\mathrm{a}}{\mathrm{Ï€}}\left(\sin \frac{\mathrm{Ï€³ú}}{2\mathrm{a}}\right)\right]}_{-\mathrm{a}}^{+\mathrm{a}} \\ =\frac{2\mathrm{aK}}{\mathrm{Ï€}}\left[\sin \left(\frac{\mathrm{Ï€}}{2}\right)-\sin \left(\frac{-\mathrm{Ï€}}{2}\right)\right] \\ =\frac{4\mathrm{aK}}{\mathrm{Ï€}} \\ \mathrm{If}\mathrm{put}\mathrm{n}=0,\mathrm{then}\mathrm{potential}\mathrm{due}\mathrm{to}\mathrm{a}\mathrm{monopole}, \\ \mathrm{v}\left(\mathrm{r},\mathrm{θ}\right)=\frac{1}{4{\mathrm{Ï€Î\mu }}_0}\frac{{\mathrm{P}}_0\left(\mathrm{³¦´Ç²õθ}\right)}{{\mathrm{r}}^{0+1}}\left(\frac{4\mathrm{aK}}{\mathrm{Ï€}}\right) \\ \mathrm{Thus},\mathrm{potential}\mathrm{due}\mathrm{to}\mathrm{monopole}, \\ \mathrm{v}\left(\mathrm{r},0\right)=\frac{1}{4{\mathrm{Ï€Î\mu }}_0}\left(\frac{4\mathrm{aK}}{\mathrm{Ï€}}\right)\frac{1}{\mathrm{r}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{b}) \\ \mathrm{Consider}\mathrm{the}\mathrm{integral}\mathrm{part}, \\ {\mathrm{I}}_{\mathrm{n}}={∫}_{-\mathrm{a}}^{+\mathrm{a}}{\mathrm{z}}^{\mathrm{n}}\mathrm{λ}\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz} \\ {\mathrm{I}}_{\mathrm{n}}={∫}_{-\mathrm{a}}^{+\mathrm{a}}{\mathrm{z}}^{\mathrm{n}}\mathrm{K}\sin \left(\frac{\mathrm{Ï€³ú}}{\mathrm{a}}\right)\mathrm{dZ} \\ \mathrm{If}\mathrm{n}=0,\mathrm{then} \\ {\mathrm{I}}_0={∫}_{-\mathrm{a}}^{+\mathrm{a}}{\mathrm{z}}^{\left(0\right)}\mathrm{K}\sin \left(\frac{\mathrm{Ï€³ú}}{\mathrm{a}}\right)\mathrm{dZ} \\ =-\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{Ï€}}{\left(\cos \frac{\mathrm{Ï€³ú}}{\mathrm{a}}\right)}_{-\mathrm{a}}^{+\mathrm{a}} \\ =0 \\ \mathrm{If}\mathrm{n}=1,\mathrm{then} \\ {\mathrm{I}}_1={∫}_{-\mathrm{a}}^{+\mathrm{a}}{\mathrm{z}}^{\left(1\right)}\mathrm{K}\sin \left(\frac{\mathrm{Ï€³ú}}{\mathrm{a}}\right)\mathrm{dZ} \\ \mathrm{Using}\mathrm{integration}\mathrm{by}\mathrm{parts}\mathrm{method}, \\ {\mathrm{I}}_1=\mathrm{K}{\left\{{\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{Ï€}}\right)}^2\sin \left(\frac{\mathrm{Ï€}2}{\mathrm{a}}\right)-\frac{\mathrm{aZ}}{\mathrm{Ï€}}\cos \left(\frac{\mathrm{Ï€´Ü}}{\mathrm{a}}\right)\right\}}_{-\mathrm{a}}^{+\mathrm{a}} \\ =\mathrm{K}\left\{\left[{\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{Ï€}}\right)}^2\sin \left(\mathrm{Ï€}\right)-\sin \left(-\mathrm{Ï€}\right)\right]\right\} \\ =\mathrm{K}\left\{\left[{\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{Ï€}}\right)}^2\sin \left(\mathrm{Ï€}\right)-\sin \left(-\mathrm{Ï€}\right)\right]-\frac{{\mathrm{a}}^2}{\mathrm{Ï€}}\mathrm{³¦´Ç²õÏ€}-\frac{{\mathrm{a}}^2}{\mathrm{Ï€}}\cos \left(-\mathrm{Ï€}\right)\right\} \\ =\mathrm{K}\left[0+\frac{{\mathrm{a}}^2}{\mathrm{Ï€}}+\frac{{\mathrm{a}}^2}{\mathrm{Ï€}}\right] \\ {\mathrm{I}}_1=2\mathrm{k}\frac{{\mathrm{a}}^2}{\mathrm{Ï€}} \\ \mathrm{If}\mathrm{n}=1,\mathrm{potential}\mathrm{due}\mathrm{to}\mathrm{a}\mathrm{dipole}\mathrm{then}, \\ \mathrm{V}\left(\mathrm{r},\mathrm{θ}\right)=\frac{1}{4{\mathrm{Ï€Î\mu }}_0}\frac{2{\mathrm{a}}^2\mathrm{K}}{\mathrm{Ï€}}\frac{1}{{\mathrm{r}}^2}\mathrm{³¦´Ç²õθ} \end{gathered}$$

c)

Put n=0 in potential function,

$$\begin{gathered} {\mathrm{I}}_0={∫}_{-\mathrm{a}}^{+\mathrm{a}}{\mathrm{Z}}^{\left(0\right)}\mathrm{K}\cos \left(\frac{\mathrm{Ï€³ú}}{\mathrm{a}}\right)\mathrm{dZ} \\ {\mathrm{I}}_0=\mathrm{K}\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{Ï€}}{\left(\sin \frac{\mathrm{Ï€³ú}}{\mathrm{a}}\right)}_{-\mathrm{a}}^{+\mathrm{a}} \\ =\frac{\mathrm{Ka}}{\mathrm{Ï€}}\left[\mathrm{²õ¾\pm ²ÔÏ€}-\sin \left(-\mathrm{Ï€}\right)\right] \\ =0 \end{gathered}$$

Put n=1 ,

${\mathrm{I}}_1={∫}_{-\mathrm{a}}^{+\mathrm{a}}\mathrm{zcos}\left(\frac{\mathrm{Ï€³ú}}{\mathrm{a}}\right)\mathrm{dZ}$

By integration by parts,

$$\begin{gathered} I_1={\left[\mathrm{Z}\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{Ï€}}\right)\sin \frac{\mathrm{Ï€´Ü}}{\mathrm{a}}\right]}_{-\mathrm{a}}^{+\mathrm{a}}-\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{Ï€}}{∫}_{-\mathrm{a}}^{+\mathrm{a}}\sin \left(\frac{\mathrm{Ï€´Ü}}{\mathrm{a}}\right)\mathrm{dZ} \\ =\left[\frac{{\mathrm{a}}^2}{\mathrm{Ï€}}\mathrm{²õ¾\pm ²ÔÏ€}+\frac{{\mathrm{a}}^2}{\mathrm{Ï€}}\sin \left(-\mathrm{Ï€}\right)\right]+{\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{Ï€}}\right)}^2{\left(\cos \frac{\mathrm{Ï€³ú}}{\mathrm{a}}\right)}_{-\mathrm{a}}^{+\mathrm{a}} \\ =0+{\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{Ï€}}\right)}^2\left[\mathrm{³¦´Ç²õÏ€}-\cos \left(-\mathrm{Ï€}\right)\right] \\ =0 \\ \mathrm{put}\mathrm{n}=2, \\ {\mathrm{I}}_2=\mathrm{K}{∫}_{-\mathrm{a}}^{+\mathrm{a}}{\mathrm{Z}}^2\cos \left(\frac{\mathrm{Ï€´Ü}}{\mathrm{a}}\right)\mathrm{dZ} \\ =\mathrm{K}{\left\{\frac{2\mathrm{z}\cos \left(\mathrm{Ï€³ú}/\mathrm{a}\right)}{\left(\mathrm{Ï€}/{\mathrm{a}}^2\right)}+\frac{\left(\mathrm{Ï€³ú}/{\mathrm{a}}^2\right)-2\sin \left(\mathrm{Ï€³ú}/\mathrm{a}\right)}{{\left(\mathrm{Ï€}/\mathrm{a}\right)}^3}\right\}}_{-\mathrm{a}}^{+\mathrm{a}} \\ =2\mathrm{K}{\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{Ï€}}\right)}^2\mathrm{a}\left(\cos \mathrm{Ï€}+\cos \left(-\mathrm{Ï€}\right)\right) \\ {\mathrm{I}}_2=\frac{-4{\mathrm{Ka}}^3}{{\mathrm{Ï€}}^2} \end{gathered}$$

Then put n=2 , get the potential due to Quadra pole

$$\begin{gathered} \mathrm{V}\left(\mathrm{r},\mathrm{θ}\right)=\frac{1}{4{\mathrm{Ï€Î\mu }}_0}\frac{1}{{\mathrm{r}}^3}{\mathrm{P}}_2\left(\mathrm{³¦´Ç²õθ}\right){\mathrm{I}}_2 \\ =\frac{1}{4{\mathrm{Ï€Î\mu }}_0}\frac{1}{{\mathrm{r}}^3}\left(\frac{3{\cos }^2\mathrm{θ}-1}{2}\right)\left(\frac{-4{\mathrm{a}}^3\mathrm{K}}{{\mathrm{Ï€}}^2}\right) \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{The}\mathrm{potential}\mathrm{due}\mathrm{to}\mathrm{Quadra}\mathrm{pole}\mathrm{is}\frac{1}{4{\mathrm{Ï€Î\mu }}_0}\frac{1}{{\mathrm{r}}^3}\left(\frac{3{\cos }^2\mathrm{θ}-1}{2}\right)\left(\frac{-4{\mathrm{a}}^3\mathrm{K}}{{\mathrm{Ï€}}^2}\right) \end{gathered}$$