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Magazine Problem 1
a) Zeigen Sie, dass die Teilmengen $$ \begin{gathered} U_{1}:=\left\\{^{t}(r, \ldots, r) \in \mathbb{R}^{n}: r \in \mathbb{R}\right\\} \subset \mathbb{R}^{n} \\ U_{2}:=\left\\{{ }^{t}\left(r_{1}, \ldots, r_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}: \sum_{i=1}^{n} r_{i}=0\right\\} \subset \mathbb{R}^{n} \end{gathered} $$ Untervektorr盲ume von \(\mathbb{R}^{n}\) sind. b) Bestimmen Sie \(\operatorname{dim} U_{1}, \operatorname{dim} U_{2}, \operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{2}\right)\) und \(\operatorname{dim}\left(U_{1}+U_{2}\right)\).
Problem 1
R sei ein kommutativer Ring mit Einselement. Zeigen Sie:
a) Die Menge \(R[t]\) der Polynome mit Koeffizienten aus \(R\) ist ein
kommutativer Ring mit Einselement.
b) Ist \(R\) nullteilerfrei, so folgt: F眉r \(f, g \in R[t]\) mit
\(\operatorname{deg} f=n\) und \(\operatorname{deg} g=m\) gilt \(\operatorname{deg}
f \cdot g=n+m\)
c) Zeigen Sie, dass die Aussage von Teil b) nicht gilt, falls \(R\) nicht
nullteilerfrei ist, d.h. finden Sie einen nicht nullteilerfreien Ring und
Polynome \(f, g \in R[t]\) mit deg \(f=n\), \(\operatorname{deg} g=m\) und
\(\operatorname{deg} f \cdot g
Problem 1
\(V\) sei ein Vektorraum 眉ber den K枚rper \(K\) und \(V_{1}, V_{2}, V_{3}\) seien Untervektorr盲ume von \(V\). Zeigen Sie: a) \(\left(V_{1} \cap V_{3}\right)+\left(V_{2} \cap V_{3}\right) \subset\left(V_{1}+V_{2}\right) \cap V_{3}\). b) Falls \(V_{1} \subset V_{3}\) gilt, so folgt $$ \left(V_{1} \cap V_{3}\right)+\left(V_{2} \cap V_{3}\right)=\left(V_{1}+V_{2}\right) \cap V_{3} . $$ c) Suchen Sie ein Beispiel mit \(V_{1} \nsubseteq V_{3}, V_{2} \nsubseteq V_{3}\) und $$ \left(V_{1} \cap V_{3}\right)+\left(V_{2} \cap V_{3}\right) \varsubsetneqq\left(V_{1}+V_{2}\right) \cap V_{3}. $$
Problem 1
Es seien \(M\) und \(N\) endliche Mengen. Zeigen Sie, dass die Menge Abb \((M, N)\) endlich ist, und bestimmen Sie die Anzahl ihrer Elemente.
