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Chapter 40: Problem 1

Es seien \(X_{1}, \ldots, X_{n}\) i.i.d.-gleichverteilt im Intervall \([a, b]\). Wie sieht die Likelihood-Funktion \(L(a, b)\) aus?

Short Answer

Expert verified
Answer: The likelihood function is given by $$ L(a, b) = \left(\frac{1}{b-a}\right)^n, \quad\text{if}\quad a \le x_i \le b \quad\text{for all}\quad i = 1, \ldots, n $$ And \(L(a, b) = 0\) otherwise.

Step by step solution

01

Find the pdf of a single uniformly distributed variable

Since the random variables are uniformly distributed in the interval \([a, b]\), their probability density function is given by: $$ f(x) = \frac{1}{b-a}, \quad\text{if}\quad a \le x \le b $$
02

Determine the joint pdf of the i.i.d. variables

As the random variables are independent and identically distributed, we can find the joint pdf by simply multiplying the individual pdfs. Let \(x_1, \ldots, x_n\) be the observed data, then the joint pdf is given by: $$ f(x_1, \ldots, x_n) = \prod_{i=1}^n f(x_i) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{b-a} $$
03

Express the likelihood function in terms of \(a\) and \(b\)

The likelihood function \(L(a, b)\) is the same as the joint pdf, with \(a\) and \(b\) treated as the variables under consideration instead of the observed data. Therefore, the likelihood function is given by: $$ L(a, b) = \left(\frac{1}{b-a}\right)^n, \quad\text{if}\quad a \le x_i \le b \quad\text{for all}\quad i = 1, \ldots, n $$ And \(L(a, b) = 0\) otherwise. Now, we have successfully found the likelihood function \(L(a, b)\) for the given i.i.d. uniformly distributed random variables.

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Welche der folgenden Aussagen (a) bis (c) sind richtig: (a) Der Anteil \(\theta\) wird bei einer einfachen Stichprobe durch die relative H盲ufigkeit \(\widehat{\theta}\) in der Stichprobe gesch盲tzt. Bei dieser Sch盲tzung ist der MSE umso gr枚脽er, je n盲her \(\theta\) an \(0.5\) liegt. (b) \(\bar{X}\) ist stets ein effizienter Sch盲tzer f眉r \(\mathrm{E}(X)\). (c) Eine nichtideale M眉nze zeigt, 鈥濳opf" mit Wahrscheinlichkeit \(\theta\). Sie werfen die M眉nze ein einziges \(\mathrm{Mal}\) und sch盲tzen $$ \widehat{\theta}= \begin{cases}1, & \text { falls die M眉nze }, \text { Kopf" zeigt. } \\ 0, & \text { falls die M眉nze , Zahl" zeigt. }\end{cases} $$ Dann ist diese Sch盲tzung erwartungstreu.

Bei einer einfachen Stichprobe vom Umfang \(n\) wird \(\sigma^{2}\) erwartungstreu durch die Stichprobenvarianz \(\widehat{\sigma_{\mathrm{UB}}^{2}}\) gesch盲tzt. Wird dann auch \(\sigma\) erwartungstreu durch \(\widehat{\sigma}\) gesch盲tzt?

Sie sch盲tzen aus einer einfachen Stichprobe \(\widehat{\mu}=\) \(\overline{\boldsymbol{Y}}\). Wie sch盲tzen Sie \(\mu^{2}\) und wie gro脽 ist der Bias der Sch盲tzung?

Welche der folgenden Aussagen von (a) bis (c) ist richtig: (a) Es sei \(10 \leq \mu \leq 20\) ein Konfidenzintervall f眉r \(\mu\) zum Niveau \(1-\alpha=0.95\). Dann liegt \(\mu\) mit hoher Wahrscheinlichkeit zwischen 10 und \(20 .\) (b) F眉r den Parameter \(\mu\) liegen zwei Konfidenzintervalle vor, die jeweils zum Niveau \(1-\alpha=0.90\) aus unabh盲ngigen Stichproben gewonnen wurden und zwar \(10 \leq \mu \leq 20\) und \(15 \leq \mu \leq 25\). Dann ist \(15 \leq \mu \leq 20\) ein Konfidenzintervall zum Niveau \(0.9^{2}\) (c) Wird bei gleichem Testniveau \(\alpha\) der Stichprobenumfang vervierfacht, so halbiert sich die Wahrscheinlichkeit f眉r den Fehler \(2 .\) Art.

Der Ausschussanteil in einer laufenden Produktion sei \(\theta\). Es werden unabh盲ngig voneinander zwei einfache Stichproben vom Umfang \(n_{1}\) bzw. \(n_{2}\) gezogen. Dabei seien \(x_{1}\) bzw. \(x_{2}\) schlechte St眉cke getroffen worden. \(\theta\) wird jeweils gesch盲tzt durch \(\widehat{\theta}_{(i)}=\frac{x_{i}}{n_{i}}\). Wie lassen sich beide Sch盲tzer kombinieren?
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