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Chapter 4: Problem 10

Vereinfachen Sie f眉r \(x, y, z>0\) die Ausdr眉cke: (a) \(\ln (2 x)+\ln (2 y)-\ln z-\ln 4\) (b) \(\ln \left(x^{2}-y^{2}\right)-\ln (2(x-y))\) f眉r \(x>y\) (c) \(\ln \left(x^{\frac{2}{3}}\right)-\ln \left(\sqrt[3]{x^{-4}}\right)\)

Short Answer

Expert verified
Question: Simplify the following logarithmic expressions: a) \(\ln\left(\frac{2x \cdot 2y}{z \cdot 4}\right)\) b) \(\ln\left(\frac{x^2 - y^2}{2(x-y)}\right)\) c) \(\ln\left(\frac{x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{x^{-4}}}\right)\) Answer: a) \(\ln\left(\frac{xy}{z}\right)\) b) \(\ln\left(\frac{x+y}{2}\right)\) c) \(2\ln(x)\)

Step by step solution

01

Apply the logarithmic properties:

Using property 2, we can rewrite the expression as: \(\ln\left(\frac{2x \cdot 2y}{z \cdot 4}\right)\)
02

Simplify the expression inside the logarithm:

We simplify the fraction to get: \(\ln\left(\frac{4xy}{4z}\right)\)
03

Cancel out common terms:

The 4 in the numerator and denominator cancel out: \(\ln\left(\frac{xy}{z}\right)\) So the simplified expression is \(\ln\left(\frac{xy}{z}\right)\). #b)#
04

Apply the logarithmic properties:

The expression is already in the form of property 2, so we can directly apply it: \(\ln\left(\frac{x^2 - y^2}{2(x-y)}\right)\)
05

Factor the numerator:

We recognize the numerator as the difference of squares and can factor it as: \(\ln\left(\frac{(x+y)(x-y)}{2(x-y)}\right)\)
06

Cancel out common terms:

The \((x-y)\) term in the numerator and denominator cancel out: \(\ln\left(\frac{x+y}{2}\right)\) So the simplified expression is \(\ln\left(\frac{x+y}{2}\right)\). #c)#
07

Apply the logarithmic properties:

Using property 2, we can rewrite the expression as: \(\ln\left(\frac{x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{x^{-4}}}\right)\)
08

Write the denominator with the same exponent as the numerator:

Recall that the cube root is equivalent to raising a number to the \(\frac{1}{3}\) power. We can write the denominator as \(x^{-\frac{4}{3}}\): \(\ln\left(\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{-\frac{4}{3}}}\right)\)
09

Simplify the fraction inside the logarithm:

When dividing terms with the same base, we subtract the exponents: \(\ln\left(x^{\frac{2}{3}+\frac{4}{3}}\right)\)
10

Combine the exponents:

We add the exponents: \(\ln\left(x^{2}\right)\)
11

Apply the logarithmic properties:

Using property 3, we can rewrite the expression as: \(2\ln(x)\) So the simplified expression is \(2\ln(x)\).

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Die Lichtempfindlichkeit von Filmen wird nach der Norm ISO 5800 angegeben. Dabei ist zum einen die lineare Skala ASA (American Standards Association) vorgesehen, bei der eine Verdoppelung der Empfindlichkeit auch eine Verdoppelung des Werts bedeutet. Zum anderen gibt es die logarithmische DIN- Norm, bei der eine Verdoppelung der Lichtempfindlichkeit durch eine Zunahme des Werts um 3 Einheiten gegeben ist. So finden sich auf Filmen Angaben wie 100/ 21 oder \(200 / 24\) f眉r die ASA und DIN Werte zur Lichtempfindlichkeit. Finden Sie eine Funktion \(f: \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(1)=1\), die den funktionalen Zusammenhang des ASA Werts a zum DIN Wert \(f(a)\) (gerundet auf ganze Zahlen) beschreibt.

Der Tangens hyperbolicus ist gegeben durch $$ \tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x} $$ \- Verifizieren Sie die Identit盲t $$ \tanh \frac{x}{2}=\frac{\sinh x}{\cosh x+1} $$ \- Begr眉nden Sie, dass f眉r das Bild der Funktion gilt $$ \tanh (\mathbb{R}) \subseteq(-1,1) $$ \- Zeigen Sie, dass durch $$ \operatorname{artanh} x=\frac{1}{2} \ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right) $$ die Umkehrfunktion artanh: \((-1,1) \rightarrow \mathbb{R}\), der Areatangens hyperbolicus Funktion gegeben ist.

Berechnen Sie folgende Zahlen ohne Zuhilfenahme eines Taschenrechners: $$ \sqrt{\mathrm{e}^{3 \ln 4}}, \quad \frac{1}{2} \log _{2}\left(4 \mathrm{e}^{2}\right)-\frac{1}{\ln 2}, \quad \frac{\sqrt[n]{\mathrm{e}^{(2+x)^{2}-4}}}{\mathrm{e}^{x}} $$ mit \(x>0\).

Jede Nullstelle \(\hat{x}\) eines Polynoms \(p\) mit $$ p(x)=a_{0}+a_{1} x+\ldots+a_{n} x^{n} \quad\left(a_{n} \neq 0\right) $$ l盲sst sich absch盲tzen durch $$ |\hat{x}|<\frac{\left|a_{0}\right|+\left|a_{1}\right|+\ldots+\left|a_{n}\right|}{\left|a_{n}\right|} $$ Zeigen Sie diese Aussage, indem Sie die F盲lle \(|\hat{x}|<1\) und \(|\hat{x}| \geq 1\) getrennt betrachten.

Bestimmen Sie ein Polynom vom Grad 3, das die folgenden Werte annimmt: $$ \begin{array}{l|r|r|r|r} x & -2 & -1 & 0 & 1 \\ \hline p(x) & -3 & -1 & -1 & 3 \end{array} $$
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