/*! This file is auto-generated */ .wp-block-button__link{color:#fff;background-color:#32373c;border-radius:9999px;box-shadow:none;text-decoration:none;padding:calc(.667em + 2px) calc(1.333em + 2px);font-size:1.125em}.wp-block-file__button{background:#32373c;color:#fff;text-decoration:none} Problem 12 Bestimmen Sie die ersten Koeffiz... [FREE SOLUTION] | 91影视

91影视

Log out

Learning Materials

Features

Discover

Chapter 20: Problem 12

Bestimmen Sie die ersten Koeffizienten einer Fourierreihenentwicklung der sogenannten 厂盲驳别锄补丑苍蹿耻苍办迟颈辞苍, also der periodischen Fortsetzung der Funktion $$ f(t)= \begin{cases}t, & \text { falls }|t|<\pi \\ 0, & \text { falls } t=\pi\end{cases} $$

Short Answer

Expert verified
Question: Determine the first Fourier coefficients of a sawtooth function defined as \(f(t) = t\) for \(|t|<\pi\) and \(f(t) = 0\) for \(t = \pi\). Answer: The first Fourier coefficients of the given sawtooth function are \(a_0 = 0\), \(a_n = 0\), and \(b_n = \frac{2}{n}(-1)^n\). The Fourier series for the sawtooth function can be approximated as \(f(t) \approx \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n}(-1)^n \sin(n t)\).

Step by step solution

01

Find a_0

To find \(a_0\), we can use the formula: $$ a_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) dt $$ In our case, since the function has a period of \(2\pi\), \(T = 2\pi\). So, $$ a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) dt $$ Now, we must evaluate the integral of the given function f(t) between \(-\pi\) and \(\pi\): $$ a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} t dt $$ When integrated, this becomes: $$ a_0 = \frac{t^2}{4\pi} \Big|_{-\pi}^{\pi} = \frac{\pi^2 - (-\pi)^2}{4\pi} = \frac{0}{4\pi} = 0 $$ So, \(a_0 = 0\).
02

Find a_n

To find \(a_n\), we use the formula: $$ a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cos(\frac{2 \pi n t}{T}) dt $$ Similarly as before, our period \(T\) is \(2\pi\): $$ a_n = \frac{2}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} t \cos(\frac{2 \pi n t}{2\pi}) dt $$ We can simplify and compute the integral: $$ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} t \cos(n t) dt $$ As cosine is an even function, this integral will equal zero. So, \(a_n = 0\).
03

Find b_n

To find \(b_n\), we use the formula: $$ b_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \sin(\frac{2 \pi n t}{T}) dt $$ Similar to before, we substitute the period \(T\) as \(2\pi\): $$ b_n = \frac{2}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} t \sin(\frac{2 \pi n t}{2\pi}) dt $$ We can simplify and compute the integral: $$ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} t \sin(n t) dt $$ Using integration by parts, we have: $$ b_n = \frac{1}{\pi} \Big[ -t \frac{\cos(n t)}{n}\Big|_{-\pi}^{\pi} - \int_{-\pi}^{\pi} -\frac{\cos(n t)}{n} dt \Big] \\ b_n = \frac{1}{\pi n}[-2\pi \cos(n \pi)] + \frac{1}{\pi n^2}[2\pi \sin(n \pi)] \\ b_n = \frac{2}{n}(-1)^n $$
04

Assemble Fourier series formula

Based on the previous steps, the Fourier series for the sawtooth function can be expressed as: $$ f(t) \approx \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n}(-1)^n \sin(n t) $$ With this formula, we can find the Fourier coefficients of the sawtooth function with any precision we want by varying the number of terms in the sum.

Unlock Step-by-Step Solutions & Ace Your Exams!

  • Full Textbook Solutions

    Get detailed explanations and key concepts

  • Unlimited Al creation

    Al flashcards, explanations, exams and more...

  • Ads-free access

    To over 500 millions flashcards

  • Money-back guarantee

    We refund you if you fail your exam.

Over 30 million students worldwide already upgrade their learning with 91影视!

Key Concepts

These are the key concepts you need to understand to accurately answer the question.

厂盲驳别锄补丑苍蹿耻苍办迟颈辞苍
Die 厂盲驳别锄补丑苍蹿耻苍办迟颈辞苍 ist eine mathematische Funktion, die durch ihren charakteristischen, wiederholenden, linearen Anstieg und abrupten Abfall definiert wird. Sie 盲hnelt der Zahnform eines S盲geblattes, woher auch der Name r眉hrt. Im Bereich der Signalverarbeitung und der Fourier-Analyse ist die 厂盲驳别锄补丑苍蹿耻苍办迟颈辞苍 von besonderer Bedeutung, da sie als periodisches Signal beschrieben werden kann und sich daher f眉r die Analyse mit Fourier-Reihen eignet.

Die Standardform der 厂盲驳别锄补丑苍蹿耻苍办迟颈辞苍 ist
\( f(t)= \begin{cases}t, & \text { falls }|t|<\pi \ 0, & \text { falls }t=\pi\end{cases} \), wo die Funktion 眉ber ein Intervall definiert ist und dann periodisch wiederholt wird. Die Herausforderung besteht darin, die Fourier-Koeffizienten zu berechnen, die die Frequenz und Amplitude der Oberschwingungen definieren, aus denen sich die S盲gezahnwelle zusammensetzt.
Fourierkoeffizienten
Fourierkoeffizienten sind die Schl眉sselelemente in der Fourier-Analyse, die die Amplituden der einzelnen Sinus- und Kosinusfunktionen in der Fourier-Reihe darstellen. Diese Koeffizienten erm枚glichen es uns, komplexe periodische Funktionen, wie die 厂盲驳别锄补丑苍蹿耻苍办迟颈辞苍, in eine unendliche Summe von viel einfacheren Sinus- und Kosinuswellen zu zerlegen.

Die Berechnung der Fourierkoeffizienten (\(a_n\) f眉r die Kosinus-Terme und \(b_n\) f眉r die Sinus-Terme) erfolgt durch Integration 眉ber eine Periode der urspr眉nglichen Funktion. Die Koeffizienten geben Aufschluss dar眉ber, wie stark jede Frequenz innerhalb der Funktion vertreten ist. Im Fall der 厂盲驳别锄补丑苍蹿耻苍办迟颈辞苍 stellt sich heraus, dass alle Kosinus-Koeffizienten (\(a_n\)) gleich Null sind, da die Funktion ungerade ist und 眉ber eine symmetrische Periode integriert wird. Die Sinus-Koeffizienten (\(b_n\)), hingegen, beschreiben die eigentliche Zusammensetzung der 厂盲驳别锄补丑苍蹿耻苍办迟颈辞苍.
Fourier-Reihe
Eine Fourier-Reihe ist eine Methode, mit der periodische Funktionen als eine unendliche Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen dargestellt werden k枚nnen. Jede Funktion, die bestimmte Bedingungen erf眉llt (wie Stetigkeit, Integrierbarkeit und Periodizit盲t), kann als Fourier-Reihe ausgedr眉ckt werden. Die Fourier-Reihe ist mathematisch als \( f(t) \approx \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(n t) + b_n \sin(n t) \) formuliert, wobei \(a_n\) und \(b_n\) die Fourierkoeffizienten sind.

Bei der Analyse der 厂盲驳别锄补丑苍蹿耻苍办迟颈辞苍 zeigt sich, dass die Fourier-Reihe nur Sinus-Terme (\(b_n\)) enth盲lt, da die Funktion ungerade ist. Die Anwendung der Fourier-Reihe erm枚glicht es, die 厂盲驳别锄补丑苍蹿耻苍办迟颈辞苍 in ihren Grund- und Oberschwingungen zu analysieren und f眉r Anwendungen in der Physik, Ingenieurwissenschaft und anderen naturwissenschaftlichen Disziplinen nutzbar zu machen.
Integration by parts
Die Integration durch Teile (oder partielle Integration) ist eine Technik zur Berechnung von Integralen, die das Produkt von zwei Funktionen beinhalten. Diese Methode basiert auf der Produktregel f眉r die Differenziation und ist besonders n眉tzlich, wenn die direkte Integration kompliziert ist.

F眉r die Berechnung der Fourier-Koeffizienten \(b_n\) der 厂盲驳别锄补丑苍蹿耻苍办迟颈辞苍 ist die Integration durch Teile entscheidend. Man w盲hlt ein Produkt aus der Funktion \(f(t)\) und der entsprechenden Sinus- oder Kosinusfunktion und integriert dieses Produkt dann st眉ckweise. Diese Methode f眉hrt letztlich zu einer Formel, mit der sich die Sinus-Koeffizienten der 厂盲驳别锄补丑苍蹿耻苍办迟颈辞苍 bestimmen lassen: \( b_n = \frac{2}{n}(-1)^n \). Dieser Ausdruck zeigt, wie die Amplitude jeder Oberschwingung mit ihrer Frequenz zusammenh盲ngt und wie dadurch die einzigartige Form der 厂盲驳别锄补丑苍蹿耻苍办迟颈辞苍 im Frequenzbereich entsteht.

One App. One Place for Learning.

All the tools & learning materials you need for study success - in one app.

Get started for free

Most popular questions from this chapter

Berechnen Sie den minimalen Abstand des Punktes \(\boldsymbol{v}=\left(\begin{array}{c}3 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)\) zu der Ebene \(\left(\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1 \\ -1 \\\ 1\end{array}\right)\right\rangle\)

Begr眉nden Sie: Ist \(U\) ein Untervektorraum eines endlichdimensionalen euklidischen Vektorraums \(V\), so l盲sst sich jedes \(v \in V\) eindeutig in der Form $$ v=u+u^{\prime} $$ mit \(\boldsymbol{u} \in U\) und \(\boldsymbol{u}^{\prime} \in U^{\perp}\) schreiben. Insbesondere gilt also \(V=\) \(U+U^{\perp} .\)

Bestimmen Sie alle normierten Vektoren des \(\mathbb{C}^{3}\), die zu \(v_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ \mathrm{i} \\ 0\end{array}\right)\) und \(\boldsymbol{v}_{2}=\left(\begin{array}{c}0 \\ \mathrm{i} \\\ -\mathrm{i}\end{array}\right)\) bez眉glich des kanonischen Skalarproduktes senkrecht stehen.

Sind die folgenden Produkte Skalarprodukte? $$ \begin{array}{ll} \therefore \begin{cases}\mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} & & \rightarrow \mathbb{R} \\ \left(\left(\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} w_{1} \\ w_{2} \end{array}\right)\right) & & \mapsto v_{1}-w_{1}\end{cases} \\ \cdots: \begin{cases}\mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} & & \rightarrow \mathbb{R} \\ \left(\left(\begin{array}{l} v_{1} \\ \nu_{2} \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} w_{1} \\ w_{2} \end{array}\right)\right) & & \mapsto 3 v_{1} w_{1}+v_{1} w_{2}+v_{2} w_{1}+v_{2} w_{2}\end{cases} \end{array} $$

Im Laufe von zehn Stunden wurde alle zwei Stunden, also zu den Zeiten \(t_{1}=0, t_{2}=2, t_{3}=4, t_{4}=6, t_{5}=8\) und \(t_{6}=10\) in Stunden, die H枚he \(h_{1}, \ldots, h_{6}\) des Wasserstandes der Nordsee in Metern ermittelt. Damit haben wir sechs Paare, \(\left(t_{i}, h_{i}\right)\) f眉r den Wasserstand der Nordsee zu bestimmten Zeiten vorliegen: $$ (0,1.0),(2,1.5),(4,1.3),(6,0.6),(8,0.4),(10,0.8) $$ Man ermittle eine Funktion, welche diese Messwerte m枚glichst gut approximiert.
See all solutions

Recommended explanations on Math Textbooks

Pure Maths

Read Explanation

Logic and Functions

Read Explanation

Mechanics Maths

Read Explanation

Calculus

Read Explanation

Probability and Statistics

Read Explanation

Applied Mathematics

Read Explanation
View all explanations

What do you think about this solution?

We value your feedback to improve our textbook solutions.

Study anywhere. Anytime. Across all devices.