Learning Materials
Features
Discover
Chapter 18: Problem 6
Haben 盲hnliche Matrizen dieselben Eigenwerte? Haben diese dann gegebenenfalls auch dieselben algebraischen und geometrischen Vielfachheiten?
Over 30 million students worldwide already upgrade their learning with 91影视!
All the tools & learning materials you need for study success - in one app.
Get started for free
Haben die quadratischen \(n \times n\)-Matrizen \(A\) und \(A^{T}\) dieselben Eigenwerte? Haben diese gegebenenfalls auch dieselben algebraischen und geometrischen Vielfachheiten?
Wir betrachten vier Populationen unterschiedlicher Arten \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\). Vereinfacht nehmen wir an, dass bei einem Fortpflanzungszyklus, der f眉r alle vier Arten gleichzeitig stattfindet, die vier Arten mit einer gewissen H盲ufigkeit mutieren, aber es entstehen bei jedem solchen Zyklus wieder nur diese vier Arten. Mit \(f_{i j}\) bezeichnen wir die H盲ufigkeit, mit der \(a_{i}\) zu \(a_{j}\) mutiert. Die folgende Matrix gibt diese H盲ufigkeiten wieder \(-\) dabei gelte \(0 \leq t \leq 1:\) $$ \boldsymbol{F}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1-t & t & t \\ 0 & t & 1-t & t \\ 0 & t & t & 1-t \end{array}\right) $$ Gibt es nach hinreichend vielen Fortpflanzungszyklen eine Art, die dominiert?
Geben Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrizen an: (a) \(\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc}3 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2}\) (b) \(\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right) \in \mathbb{C}^{2 \times 2}\) (c) \(\boldsymbol{C}=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ b & d\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2}\)
Gegeben ist eine elastische Membran im \(\mathbb{R}^{2}\), die von der Einheitskreislinie \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1\) berandet wird. Bei ihrer (als lineare Abbildung angenommene) Verformung gehe der Punkt \(\left(\begin{array}{l}v_{1} \\ v_{2}\end{array}\right)\) in den Punkt \(\left(\begin{array}{l}5 v_{1}+3 v_{2} \\ 3 v_{1}+5 v_{2}\end{array}\right)\) 眉ber. (a) Welche Form und Lage hat die ausgedehnte Membran? (b) Welche Geraden durch den Ursprung werden auf sich abgebildet?
Gegeben sind die verschiedenen Eigenwerte \(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{r}\) einer Matrix \(\boldsymbol{A} \in \mathbb{C}^{n \times n} .\) F眉r jedes \(j \in\\{1, \ldots, r\\}\) bezeichnen wir mit \(\boldsymbol{v}_{j} \in \mathbb{C}^{n}\) einen Eigenvektor von \(\boldsymbol{A}\) zum Eigenwert \(\lambda_{j}\). Weiter erkl盲ren wir f眉r jedes \(j \in\\{1, \ldots, r\\}\) die Abbildung \(\boldsymbol{y}_{j}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}^{n}\) durch $$ \boldsymbol{y}_{j}(t)=\mathrm{e}^{\lambda_{j} t} \boldsymbol{v}_{j} $$ Begr眉nden Sie, dass \(\boldsymbol{y}_{1}, \ldots, \boldsymbol{y}_{r}\) L枚sungen der Differenzialgleichung \(\boldsymbol{y}^{\prime}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{y}\) sind. Zeigen Sie auch, dass die Abbildungen \(\boldsymbol{y}_{1}, \ldots, \boldsymbol{y}_{r}\) linear unabh盲ngig sind.
What do you think about this solution?
We value your feedback to improve our textbook solutions.
Explanations 
Textbooks 
Flashcards 
91影视 AI 
Notes 
Study Plans 
Study Sets 
Find a degree 
Magazine