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Chapter 13: Problem 7

Berechnen Sie die L枚sungen der folgenden Anfangswertprobleme. (a) \(u^{\prime}(x)=\frac{x}{3 \sqrt{1+x^{2}}(u(x))^{2}}, x>0, u(0)=3\) (b) \(u^{\prime}(x)=-\frac{1}{2 x} \frac{(u(x))^{2}-6 u(x)+5}{u(x)-3}, x>1, u(1)=2\).

Short Answer

Expert verified
Answer: The solution of the initial value problem (a) is \(u(x) = \sqrt[3]{\frac{1}{2}x^2+27}\).

Step by step solution

01

Separate Variables

$$3\sqrt{1+x^{2}}(u(x))^{2}u^{\prime}(x) = x$$ ### Step 2: Integrate both sides ### Now, integrate both sides with respect to \(x\):
02

Integrate Both Sides

$$\int 3\sqrt{1+x^{2}}(u(x))^{2}u^{\prime}(x) dx = \int x dx$$ ### Step 3: Apply substitution ### Let \(y = u(x)\) and \(dy = u^{\prime}(x)dx\). Now rewrite and apply substitution to the integrals:
03

Apply Substitution

$$\int 3\sqrt{1+x^{2}}y^{2} dy = \int x dx$$ ### Step 4: Solve the integrals ### Solve both integrals:
04

Solve the Integrals

$$\frac{3}{3}y^3 = \frac{1}{2}x^2+C$$ ### Step 5: Substitute back and apply initial condition ### Now substitute \(u(x)\) for \(y\) and apply the initial condition \(u(0) = 3\) to find the constant \(C\):
05

Substitute and Apply Initial Condition

$$u(x)^3 = \frac{1}{2}x^2+C$$ $$3^3 = \frac{1}{2}(0)^2+C \Rightarrow C = 27$$ Thus, the solution to the initial value problem (a) is:
06

Solution of Problem (a)

$$u(x) = \sqrt[3]{\frac{1}{2}x^2+27}$$ ## Problem (b) ## ### Step 1: Separate variables ### Separate variables by multiplying both sides of the differential equation by \(2x(u(x)-3)\) and dividing by \((u(x))^2-6u(x)+5\). This yields:
07

Separate Variables

$$2x(u(x)-3)u^{\prime}(x) = -(u(x)^2-6u(x)+5)$$ ### Step 2: Integrate both sides ### Now, integrate both sides with respect to \(x\):
08

Integrate Both Sides

$$\int 2x(u(x)-3)u^{\prime}(x) dx = -\int (u(x)^2-6u(x)+5) dx$$ ### Step 3: Apply substitution ### Let \(y = u(x)\) and \(dy = u^{\prime}(x)dx\). Now rewrite and apply substitution to the integrals:
09

Apply Substitution

$$\int 2xy(y- 3) dy = -\int (y^2-6y+5) dx$$ ### Step 4: Solve the integrals ### Solve both integrals:
10

Solve the Integrals

$$\int 2xy(y- 3) dy = -y^3+3y^2+5y+C$$ ### Step 5: Substitute back and apply initial condition ### Now substitute \(u(x)\) for \(y\) and apply the initial condition \(u(1) = 2\) to find the constant \(C\):
11

Substitute and Apply Initial Condition

$$-u(x)^3+3u(x)^2+5u(x)+C = -2^3+3(2)^2+5(2)+C$$ $$C=2$$ Thus, the solution to the initial value problem (b) is:
12

Solution of Problem (b)

$$u(x)=-\frac{3}{2}x^3 + x^2 + \frac{5}{2}x + 2$$

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Bestimmen Sie die allgemeine reellwertige L枚sung der Differenzialgleichung $$ y^{\prime \prime \prime}(x)+2 y^{\prime \prime}(x)+2 y^{\prime}(x)+y(x)=0, \quad x \in \mathbb{R} $$

Bestimmen Sie die allgemeine L枚sung der linearen Differenzialgleichung erster Ordnung $$ u^{\prime}(x)+\cos (x) u(x)=\frac{1}{2} \sin (2 x), \quad x \in(0, \pi) $$

Das Anfangswertproblem $$ y^{\prime}(x)=1-x+y(x), \quad y\left(x_{0}\right)=y_{0} $$ soll mit dem Euler-Verfahren numerisch gel枚st werden. Ziel ist es, zu zeigen, dass die numerische L枚sung f眉r \(h \rightarrow 0\) in jedem Gitterpunkt gegen die exakte L枚sung konvergiert. (a) Bestimmen Sie die exakte L枚sung \(y\) des Anfangswertproblems. (b) Mit \(y_{k}\) bezeichnen wir die Approximation des EulerVerfahrens am Punkt \(x_{k}=x_{0}+k h .\) Zeigen Sie, dass $$ y_{k}=(1+h)^{k}\left(y_{0}-x_{0}\right)+x_{k} $$ (c) Wir w盲hlen \(\hat{x}>x_{0}\) beliebig und setzen die Schrittweite \(h=\left(\hat{x}-x_{0}\right) / n\) f眉r \(n \in \mathbb{N} .\) Die Approximation des EulerVerfahrens am Punkt \(x_{n}=\hat{x}\) ist dann \(y_{n} .\) Zeigen Sie $$ \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=y(\hat{x}) $$

Bestimmen Sie die allgemeine L枚sung der Euler'schen Differenzialgleichung dritter Ordnung $$ u^{\prime \prime \prime}(x)-\frac{2}{x} u^{\prime \prime}(x)+\frac{5}{x^{2}} u^{\prime}(x)-\frac{5}{x^{3}} u(x)=0, \quad x>0 $$

Eine Differenzialgleichung der Form $$ y(x)=x y^{\prime}(x)+f\left(y^{\prime}(x)\right) $$ f眉r \(x\) aus einem Intervall \(I\) und mit einer stetig differenzierbaren Funktion \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) wird Clairaut'sche Differenzialgleichung genannt. (a) Differenzieren Sie die Differenzialgleichung und zeigen Sie so, dass es eine Schar von Geraden gibt, von denen jede die Differenzialgleichung l枚st. (b) Es sei konkret $$ f(p)=\frac{1}{2} \ln \left(1+p^{2}\right)-p \arctan p, \quad p \in \mathbb{R} $$ Bestimmen Sie eine weitere L枚sung der Differenzialgleichung f眉r \(I=(-\pi / 2, \pi / 2)\). (c) Zeigen Sie, dass f眉r jedes \(x_{0} \in(-\pi / 2, \pi / 2)\) die Tangente der L枚sung aus (b) eine der Geraden aus (a) ist. Man nennt die L枚sung aus (b) auch die Einh眉llende der Geraden aus. (a). (d) Wie viele verschiedene stetig differenzierbare L枚sungen gibt es f眉r eine Anfangswertvorgabe \(y\left(x_{0}\right)=y_{0}, y_{0}>0\), mit \(x_{0} \in(-\pi / 2, \pi / 2)\) ?
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