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Chapter 13: Problem 11

Bestimmen Sie die allgemeine L枚sung der Differenzialgleichung $$ y^{\prime}(x)=1+\frac{(y(x))^{2}}{x^{2}+x y(x)}, \quad x>0 $$

Short Answer

Expert verified
Question: Find the general solution of the following first-order, nonlinear ordinary differential equation (ODE): $$ y^{\prime}(x)=1+\frac{(y(x))^{2}}{x^{2}+x y(x)}, \quad x>0 $$ Answer: The general solution of the given ODE is: $$ y(x) = \tan(\int \frac{dx}{x^{2}+x y(x)} + C) $$

Step by step solution

01

Rewrite the ODE in terms of dy and dx

First, let's rewrite the ODE in terms of dy and dx: $$ \frac{dy(x)}{dx} = 1+\frac{(y(x))^{2}}{x^{2}+x y(x)}, \quad x>0 $$ Now, let's express it using differentials: $$ dy(x) = (1+\frac{(y(x))^{2}}{x^{2}+x y(x)}) dx, \quad x>0 $$
02

Separate variables

Now, let's separate the variables by isolating \(y\) on the left side and \(x\) on the right side: $$ \frac{dy(x)}{1+(y(x))^{2}} = \frac{dx}{x^{2}+x y(x)}, \quad x>0 $$
03

Integrate both sides

To find the general solution, we can integrate both sides: $$ \int \frac{dy(x)}{1+(y(x))^{2}} = \int \frac{dx}{x^{2}+x y(x)} + C $$
04

Evaluate the integrals

Let's focus on the left integral first: $$ \int \frac{dy(x)}{1+(y(x))^{2}} = \arctan(y(x)) $$ The right integral is more complicated to perform directly. Thus, we leave it in the integral form: $$ \arctan(y(x)) = \int \frac{dx}{x^{2}+x y(x)} + C $$
05

Isolate y(x)

Finally, we can find the general solution by isolating \(y(x)\): 1. Apply the inverse tangent function to both sides of the equation: $$ y(x) = \tan(\int \frac{dx}{x^{2}+x y(x)} + C) $$ This is the general solution of the given ODE, expressed in terms of an integral.

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\(\quad \operatorname{Um} x_{0}=1\) sind L枚sungen der Differenzialgleichung $$ x u^{\prime \prime}(x)+(2+x) u^{\prime}(x)+u(x)=0 $$ in Potenzreihen entwickelbar. Bestimmen Sie diese Potenzreihe f眉r den Fall \(u(1)=-u^{\prime}(1)=1\) und geben Sie den Konvergenzbereich der Reihe an.

Bestimmen Sie die allgemeine reellwertige L枚sung der Differenzialgleichung $$ y^{\prime \prime \prime}(x)+2 y^{\prime \prime}(x)+2 y^{\prime}(x)+y(x)=0, \quad x \in \mathbb{R} $$

Ein Balken der L盲nge \(L=3 \mathrm{~m}\) mit rechteckigem Querschnitt von der H枚he \(h=0.1 \mathrm{~m}\) und der Breite \(b=0.06 \mathrm{~m}\) wird an seinen Endpunkten gelagert und belastet. Setzen wir den Ursprung in den Mittelpunkt des Balkens, so gelten f眉r die Durchbiegung \(w\) die Randbedingungen $$ \begin{aligned} w\left(-\frac{L}{2}\right) &=w\left(\frac{L}{2}\right)=0 \mathrm{~m} \\ w^{\prime \prime}\left(-\frac{L}{2}\right) &=w^{\prime \prime}\left(\frac{L}{2}\right)=0 \mathrm{~m}^{-1} \end{aligned} $$ Das Elastizit盲tsmodul des Materials ist \(E=10^{10} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}\), ein typischer Wert f眉r einen Holzbalken. (a) Wir belasten den Balken durch eine konstante Last \(q=\) \(300 \mathrm{~N} / \mathrm{m}\). Die Durchbiegung gen眉gt also der Differenzialgleichung $$ E I w^{\prime \prime \prime \prime}(x)=q, \quad x \in\left(-\frac{L}{2}, \frac{L}{2}\right) $$ wobei \(I\) das Fl盲chentr盲gheitsmoment des Balkens angibt. Bestimmen Sie \(w\). (b) Wirkt an einer einzigen Stelle des Balkens eine Kraft, so kann man die Durchbiegung mithilfe der \(Q\) uerkraft \(Q\) beschreiben. Wirkt an der Stelle \(x_{0}=0 \mathrm{~m}\) eine Kraft von \(300 \mathrm{~N}\), so verwendet man die Differenzialgleichung $$ E I w^{\prime \prime \prime}(x)=Q(x), \quad x \in\left(-\frac{L}{2}, \frac{L}{2}\right) $$ mit $$ Q(x)= \begin{cases}-150 \mathrm{~N}, & x

Gegeben ist die Differenzialgleichung $$ y^{\prime}(x)=-2 x(y(x))^{2}, \quad x \in \mathbb{R} $$ (a) Skizzieren Sie das Richtungsfeld dieser Gleichung. (b) Bestimmen Sie eine L枚sung durch den Punkt \(P_{1}=(1,1 / 2)^{\top}\). (c) Gibt es eine L枚sung durch den Punkt \(P_{2}=(1,0)^{\top}\) ?

Eine Masse von \(5 \mathrm{~kg}\) dehnt eine Feder um \(0.1 \mathrm{~m}\). Dieses System befindet sich in einer viskosen Fl眉ssigkeit. Durch diese Fl眉ssigkeit wirkt auf die Masse bei einer Geschwindigkeit von \(0.04 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) eine bremsende Kraft von \(2 \mathrm{~N}\). Es wirkt eine 盲uBere Kraft \(F(t)=2 \cos (\omega t) \mathrm{N}, t>0, \omega \in \mathbb{R}\). F眉r die Erdbeschleunigung k枚nnen Sie \(g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\) annehmen. (a) Stellen Sie die zugeh枚rige Differenzialgleichung auf und bestimmen Sie deren allgemeine L枚sung. (b) Ein Summand in der L枚sung, man nennt ihn auch die \(s t a-\) tion盲re L枚sung, gibt das Verhalten des Systems f眉r gro脽e Zeiten wieder. Diese ist unabh盲ngig von den Anfangsbedingungen. Schreiben Sie die station盲re L枚sung in der Form $$ A(\omega) \cos (\omega t-\delta) $$ und bestimmen Sie dasjenige \(\omega\), f眉r das die Amplitude \(A(\omega)\) maximal ist.
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