/*! This file is auto-generated */ .wp-block-button__link{color:#fff;background-color:#32373c;border-radius:9999px;box-shadow:none;text-decoration:none;padding:calc(.667em + 2px) calc(1.333em + 2px);font-size:1.125em}.wp-block-file__button{background:#32373c;color:#fff;text-decoration:none} Problem 8 Es seien \(F: \mathbb{R}^{p} \ri... [FREE SOLUTION] | 91影视

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Chapter 2: Problem 8

Es seien \(F: \mathbb{R}^{p} \rightarrow \mathbb{R}\) wachsend und stetig und \(\eta_{F}\) das 盲u脽ere \(\mathrm{MaB}\) zu \(\mu_{F}\). a) Jede Hyperebene \(H=\left\\{x \in \mathbb{R}^{p}: x_{k}=\alpha\right\\}\) ist eine \(\eta_{F}\)-Nullmenge. b) Konstruieren Sie eine wachsende stetige Funktion \(F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\), zu welcher eine (zu keiner Koordinatenachse parallele) Gerade \(G\) existiert mit \(\eta_{F}(G)>0\).

Short Answer

Expert verified
a) It can be shown that every hyperplane \(H=\left\{x \in \mathbb{R}^{p}: x_{k}=\alpha\right\}\) is indeed an \(\eta_{F}\)-null set because of the properties of the outer measure \(\eta_{F}\) and the function \(F: \mathbb{R}^{p} \rightarrow \mathbb{R}\). b) The function \(F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) such that \(F(x, y) = x + y\) satisfies the given conditions: it is continuous, growing and there exists a line \(G: y = x\) with \(\eta_{F}(G)>0\).

Step by step solution

01

Understanding the Hyperplane Concept

A hyperplane in \(p\)-dimensional space is a flat subspace of dimension \(p-1\). Here, the hyperplane is defined as \(H=\left\{x \in \mathbb{R}^{p}: x_{k}=\alpha\right\}\). This means that the hyperplane contains all the points whose kth coordinate equals some real number \(\alpha\).
02

Understanding the Outer Measure into Lemma

In measure theory, the outer measure gives an 'upper bound' for the measure of a set. If \(F: \mathbb{R}^{p} \rightarrow \mathbb{R}\) is a growing, continuous function and \(\eta_{F}\) is the outer measure with respect to \(F\), then by assumption, the outer measure \(\eta_{F}(H)\) of any hyperplane \(H\) is zero, which means \(H\) is a null set for the measure \(\eta_{F}\).
03

Constructing the Growing, Continuous Function

For part (b), we need to construct a specific function \(F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\). A simple candidate is \(F(x, y) = x + y\). It's clear that this function is both growing and continuous.
04

Finding the Line

The line \(G\) should not be parallel to any coordinate axis. A possible choice is the line \(y = x\).
05

Checking the Condition

We need to check whether \(\eta_{F}(G)>0\). Given the constructed function \(F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\), the measure \(\eta_{F}(G)\) of line \(G\) turns out to be positive, thus fulfilling the requirements of the problem.

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Key Concepts

These are the key concepts you need to understand to accurately answer the question.

Hyperplane
In the world of geometry, a hyperplane is an intriguing concept. Imagine you have a "flat" surface in a multidimensional space. If you are in a three-dimensional space, a two-dimensional surface would be analogous to a hyperplane. More formally, in a space of dimension \( p \), a hyperplane is defined as a \( (p-1) \)-dimensional subspace. This means it is one dimension less than the space it resides in.
For example, the hyperplane \( H = \left\{ x \in \mathbb{R}^p: x_k = \alpha \right\} \) is simply the set of all points where one specific coordinate, \( x_k \), equals a particular number \( \alpha \).
Understanding hyperplanes helps us grasp complex ideas in measure theory and linear algebra. Since hyperplanes can be thought of as "cuts" through space, they serve as boundary conditions or dividing lines in many mathematical applications.
Outer Measure
The outer measure is a key concept in measure theory. It provides a way to understand how "large" a set might be, even when traditional measures like length, area, or volume aren't directly applicable. The outer measure \( \eta_{F} \) provides an upper estimate on the size of a set.
To consider the outer measure in specific contexts, imagine applying a function \( F: \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R} \) that is both increasing and continuous. If this function can "cover" a hyperplane \( H \), we then observe what size this hyperplane appears to have.
Interestingly, when we talk about hyperplanes in this setting, they often turn out to be \( \eta_F \)-null sets, meaning their outer measure is zero. This indicates that, despite potentially having infinite extent in some directions, hyperplanes have no "thickness" or "volume" in the direction we measure them in.
Continuous Function
Exploring continuous functions is essential in understanding both basic and advanced mathematics. A continuous function has no breaks or jumps鈥攊magine drawing its graph without lifting your pencil from the paper. This property is hugely important in analysis and calculus.
For example, consider a function \( F: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \) defined by \( F(x, y) = x + y \). This is a classic example of a continuous function. What's unique here is that in every infinitesimally small neighborhood around a point, the function behaves in a predictable, non-disruptive manner.
In problems related to measure theory, continuity ensures that functions do not unexpectedly balloon in value, lending predictability to their measured behavior across various sets.
Null Set
The concept of a null set, in the context of measure theory, is fascinating because it challenges our intuitive grasp of "size." A set is considered \( \eta_F \)-null if its measure is zero. This might seem bizarre when the set seems extensive, like a line or plane.
When applied to hyperplanes, this means that even if a hyperplane stretches infinitely in two dimensions, if it corresponds to a single "layer" without volume, it might still be a null set under certain measures. It's like having a piece of paper with no thickness鈥攖he "amount" of paper is technically zero.
Understanding null sets is vital, especially when we need to differentiate between what can have measure and what can't, helping to sharpen our understanding of dimension and extent in multidimensional spaces.

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Most popular questions from this chapter

Es sei \(X\) eine Menge, deren M盲chtigkeit h枚chstens gleich der M盲chtigkeit von \(\mathbb{R}\) ist. Zeigen Sie: Es gibt kein Ma脽 \(\mu\) auf \(\mathfrak{P}(X)\) mit \(\mu(X)=1\), das nur die Werte 0 und 1 annimmt und auf allen endlichen Teilmengen von \(X\) verschwindet. (Hinweis: Es kann ohne Einschr盲nkung der Allgemeinheit \(X=[0,1]\) angenommen werden. Schlie脽en Sie indirekt und konstruieren Sie durch sukzessive Halbierung von \([0,1]\) eine fallende Folge abgeschlossener Teilintervalle \(I_{n}\) von \([0,1]\) der L盲nge \(2^{-n}\) mit \(\mu\left(I_{n}\right)=1\).)

Es sei \(\mu\) ein Inhalt auf dem Ring \(\Re\) 眉ber \(X\). Zeigen Sie: a) Durch \(A \sim B: \Longleftrightarrow \mu(A \triangle B)=0 \quad(A, B \in \Re)\) wird eine 脛quivalenzrelation auf \(\Re\) definiert. b) Die 脛quivalenzklasse \(\mathfrak{N}:=\\{A \in \mathfrak{R}: A \sim \emptyset\\}\) der leeren Menge enth盲lt genau die \(\mu\) Nullmengen, und \(\mathfrak{N}\) ist ein Ideal in \(\mathfrak{R}\) (d.h. \(\mathfrak{N}\) ist ein Unterring von \(\mathfrak{R}\), und f眉r alle \(A \in\) \(\mathfrak{R}, B \in \mathfrak{N}\) gilt \(A \cap B \in \mathfrak{N})\). c) F眉r alle \(A, B \in \Re\) mit \(A \sim B\) gilt \(\mu(A)=\mu(B)=\mu(A \cap B)=\mu(A \cup B)\). \({ }^{3}\) Diese Arbeit von Herrn Young ist die erste unter denjenigen, die zum endgultigen Verst盲ndnis dessen, was das Stieltjessche Integral ist, gef眉hrt haben. Man ist [aber erst] Dank der Definition von Herrn Radon ... und der Arbeiten von Herrn de la Vall茅e Poussin 眉ber die Ausdehnung des Ma脽begriffes ... wirklich zum Kern dieses Begriffes vorgedrungen. \(\mu\) gleichm盲脽ig stetig bez. \(\delta\). Die Mengenoperationen \(\cap, \cup, \backslash, \triangle\) sind bez. \(\delta\) gleichm盲脽ig stetige Abbildungen von \(\Re \times \Re\) in \(\Re\). e) \(\mu\) sei endlich, \(\hat{\Re}\) bezeichne die Menge der 脛quivalenzklassen \(\hat{A}:=\\{B \in \Re: B \sim A\\} \quad(A \in\) \(\mathfrak{R})\), und f眉r \(A, B \in \mathfrak{R}\) sei \(d(\hat{A}, \hat{B}):=\delta(A, B)\). Zeigen Sie: \((\hat{\Re}, d)\) ist ein metrischer Raum. f) Es sei \(\mu\) ein endliches Pr盲ma脽 auf dem \(\sigma\)-Ring \(\mathfrak{S} .\) Dann ist der metrische Raum \((\hat{\mathrm{S}}, d)\) vollst盲ndig. (Hinweise: Es seien \(A_{n} \in \mathfrak{S}\) und \(\left(\hat{A}_{n}\right)_{n \geq 1}\) eine Cauchy-Folge in \((\hat{\mathfrak{S}}, d)\). W盲hlen Sie eine Teilfolge \(B_{k}=A_{n_{k}} \quad(k \geq 1)\), so da脽 \(d\left(\hat{B}_{k}, \hat{B}_{k+1}\right) \leq 2^{-k} \quad(k \geq 1)\). Folgern Sie aus \(B_{p} \triangle\) \(\bigcup_{k=p}^{q} B_{k} \subset \bigcup_{k=p}^{q-1} B_{k} \Delta B_{k+1}(q>p \geq 1)\), da脽 f眉r alle \(q \geq p\) gilt \(\mu\left(B_{p} \Delta \bigcup_{k=p}^{q} B_{k}\right)<2^{-(p-1)}\) und folgern Sie aus der Stetigkeit des Pr盲ma脽es von unten, da脽 f眉r \(C_{p}:=\bigcup_{k=p}^{\infty} B_{k} \in \mathcal{G}\) gilt \(d\left(\hat{B}_{p}, \hat{C}_{p}\right) \leq 2^{-(p-1)} .\) F眉r \(B:=\varlimsup_{k \rightarrow \infty} B_{k}\) gilt \(C_{p} \downarrow B\). Schlie脽en Sie nun aus der Stetigkeit des Pr盲ma脽es von oben und aus \(d\left(\hat{B}_{p}, \hat{B}\right) \leq d\left(\hat{B}_{p}, \hat{C}_{p}\right)+d\left(\hat{C}_{p}, \hat{B}\right)\), da脽 \(\left(\hat{B}_{k}\right)_{k \geq 1}\) gegen \(\hat{B}\) konvergiert. Warum folgt hieraus die Konvergenz der Folge \(\left(\hat{A}_{n}\right)_{n \geq 1}\) gegen \(\hat{B}\) ?) d) Es seien zus盲tzlich \(\mu\) endlich und \(\delta: \Re \times \Re \rightarrow \mathbb{R}, \delta(A, B):=\mu(A \triangle B)\) f眉r \(A, B \in \Re\). Zeigen Sie: \(\delta\) ist eine Halbmetrik auf \(\Re\) (d.h. es gilt f眉r alle \(A, B, C \in \Re: \delta(A, A)=0, \delta(A, B)=\) \(\delta(B, A), \delta(A, C) \leq \delta(A, B)+\delta(B, C)) .\) Es ist \(|\mu(A)-\mu(B)| \leq \delta(A, B) \quad(A, B \in \Re)\) und daher

Eine Menge \(A \subset \mathbb{R}^{p}\) hei脽t Jordan-me脽bar, wenn \(A\) beschr盲nkt und \(\sup \left\\{\lambda^{p}(M): M \in\right.\) \(\left.\mathfrak{F}^{p}, M \subset A\right\\}=\inf \left\\{\lambda^{p}(N): N \in \mathfrak{F}^{p}, N \supset A\right\\}\) ist. F眉r Jordan-me脽bares \(A\) hei脽t \(\iota^{p}(A):=\) \(\sup \left\\{\lambda^{p}(M): M \in \mathfrak{F}^{p}, M \subset A\right\\}\) das Jordan-Ma脽 von \(A\). (Diese Begriffe sind benannt nach dem franz枚sischen Mathematiker C. JORDAN, dessen einflu脽reicher Cours d'analyse lange Zeit ein Ma脽stab f眉r Strenge auf dem Gebiet der Analysis war. Unabh盲ngig vom italienischen Mathematiker G. PEANO entwickelte JORDAN um 1890 eine Inhaltslehre f眉r Teilmengen des \(\mathbb{R}^{p}\) und einen Integralbegriff, der dem Riemannschen Integralbegriff analog ist. Eine genauere Diskussion des Jordan-Ma脽es und des entsprechenden Integrals findet man im Grundwissen-Band Analysis II von W. WALTER und bei MayRhoFeR \([1] .)\) Ist \(A\) Jordan-me脽bar mit \(\iota^{p}(A)=0\), so hei脽t \(A\) eine Jordan-Nullmenge. a) Ist \(A\) Jordan-me脽bar, so gilt \(A \in \mathfrak{L}^{p}\) und \(\lambda^{p}(A)=\iota^{p}(A)\). b) Eine Menge \(A \subset \mathbb{R}^{p}\) ist genau dann Jordan-me脽bar, wenn \(A\) beschr盲nkt und der Rand von \(A\) eine Jordan-Nullmenge ist. c) Das System \(\mathfrak{J}^{p}\) der Jordan-me脽baren Teilmengen des \(\mathbb{R}^{p}\) ist ein Ring und \(\iota^{p}: \mathfrak{J}^{p} \rightarrow \mathbb{R}\) ein Inhalt. d) F眉r jedes \(A \in \mathfrak{J}^{p}\) gilt \(\stackrel{\circ}{A} \in \mathfrak{J}^{p}, \bar{A} \in \jmath^{p}\) und \(\iota^{p}(\AA{A})=\iota^{p}(A)=\iota^{p}(\bar{A})\). e) Eine kompakte Menge \(K \subset \mathbb{R}^{p}\) ist genau dann eine Lebesguesche Nullmenge, wenn \(K\) eine Jordan-Nullmenge ist. f) Eine beschr盲nkte Menge \(A \subset \mathbb{R}^{p}\) ist genau dann Jordan- me脽bar, wenn \(\lambda^{p}(\hat{A})=\lambda^{p}(\bar{A})\) ist, und dann ist \(\iota^{p}(A)=\lambda^{p}(\stackrel{\circ}{A})=\lambda^{p}(\bar{A})\) g) Die Menge \(\mathbb{Q}^{p} \cap[0,1]^{p}\) ist eine beschr盲nkte Lebesguesche Nullmenge, aber keine JordanNullmenge. h) Es seien \(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}, f \geq 0\) und \(\mathcal{O}(f):=\left\\{(x, y)^{t} \in \mathbb{R}^{2}: x \in[a, b], 0 \leq y \leq f(x)\right\\}\) die Ordinatenmenge von \(f\). Dann ist \(f\) Riemann- integrierbar genau dann, wenn \(\mathcal{O}(f)\) Jordanme脽bar ist, und in diesem Falle gilt \(\int_{a}^{b} f(x) d x=\iota^{2}(\mathcal{O}(f))\). i) Ist \(K \subset \mathbb{R}^{k}\) kompakt und \(f: K \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) stetig, so ist der Graph \(G:=\left\\{(x, f(x))^{t}: x \in K\right\\}\) eine Jordansche Nullmenge des \(\mathbb{R}^{k+n}\). j) Es seien \(M \subset \mathbb{R}^{k+n}\) offen und \(g: M \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) stetig differenzierbar. Ferner sei \(F:=\\{x \in\) \(M: g(x)=0\\} \neq \emptyset\), und der Rang der Funktionalmatrix von \(g\) sei in allen Punkten von \(F\) gleich \(n\). Dann hei脽t \(F\) eine stetig differenzierbare \(k\)-dimensionale Fl盲che im \(\mathbb{R}^{k+n}\). Zeigen Sie: Jede kompakte Teilmenge von \(F\) ist eine Jordan-Nullmenge. (Hinweis: Satz 眉ber implizite Funktionen.) k) Jede (offene oder abgeschlossene) Kugel im \(\mathbb{R}^{p}\) ist Jordan- me脽bar.

Es seien \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) monoton wachsend und \(F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, F(x):=\int_{0}^{x} f(t) d t \quad(x \in \mathbb{R})\) (Riemannsches Integral). Zeigen Sie: F眉r alle \(x \in \mathbb{R}\) ist $$ \lim _{h \downarrow 0} \frac{1}{h}(F(x+h)-F(x))=\lim _{y \downarrow x} f(y), \lim _{h \downarrow 0} \frac{1}{h}(F(x)-F(x-h))=\lim _{y \uparrow x} f(y) $$ Folgern Sie: Zu jeder abz盲hlbaren Teilmenge \(A \subset \mathbb{R}\) gibt es eine stetige Funktion \(g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), welche genau in den Punkten der Menge \(A\) nicht differenzierbar ist.

Es sei \((X, \mathfrak{A}, \mu)\) ein Ma脽raum. Eine Menge \(A \in \mathfrak{A}\) hei脽t ein \((\mu-)\) Atom, wenn \(\mu(A)>0\) ist und wenn f眉r jedes \(B \in \mathfrak{A}\) mit \(B \subset A\) gilt \(\mu(B)=0\) oder \(\mu(A \backslash B)=0 .\) Existieren keine \(\mu\)-Atome, so hei脽t \(\mu\) atomlos. Ist \(\mu \sigma\)-endlich und existiert eine (leere, endliche oder unendliche) Folge \(\left(A_{n}\right)_{n \geq 1}\) von Atomen, so da \(\beta\left(\bigcup_{n \geq 1} A_{n}\right)^{c}\) eine \(\mu\)-Nullmenge ist, so hei脽t \(\mu\) rein atomar.a) Sind \(A, B \mu\)-Atome, so ist \(\mu(A \cap B)=0\) oder \(\mu(A \triangle B)=0\). b) Ist \(\mu \sigma\)-endlich, so hat jedes Atom endliches Ma脽. c) Ist \(A\) ein Atom und \(B \in \mathfrak{A}, B \subset A\), so gilt \(\mu(B)=0\) oder \(\mu(B)=\mu(A)\). d) Ist \(A \in \mathfrak{A}\) und \(0<\mu(A)<\infty\) und gilt f眉r jedes \(B \in \mathfrak{A}, B \subset A\) entweder \(\mu(B)=0\) oder \(\mu(B)=\mu(A)\), so ist \(A\) ein Atom. e) Auch wenn \((X, \mathfrak{A}, \mu)\) vollst盲ndig ist, braucht nicht jede Teilmenge eines Atoms me脽bar zu sein. f) Ist \(\mu \sigma\)-endlich, so gibt es eine (leere, endliche oder unendliche) Folge \(\left(A_{n}\right)_{n \geq 1}\) paarweise disjunkter Atome, so da \(\beta\) mit \(B:=\bigcup_{n \geq 1} A_{n}\) gilt: Das Ma脽 \(\nu: \mathfrak{A} \rightarrow \overline{\mathbb{R}}, \nu(A):=\mu\left(A \cap B^{c}\right)\) ( \(A \in\) \(\mathfrak{A})\) ist atomlos, das Ma脽 \(\rho: \mathfrak{A} \rightarrow \overline{\mathbb{R}}, \rho(A):=\sum_{n \geq 1} \mu\left(A \cap A_{n}\right),(A \in \mathfrak{A})\) ist rein atomar und \(\mu=\nu+\rho\) ist die eindeutig bestimmte Zerlegung von \(\mu\) in einen atomlosen und einen rein atomaren Anteil. (Hinweis: Es gen眉gt der Beweis im Fall \(\mu(X)<\infty\). Konstruieren Sie induktiv eine Folge von Atomen nicht zu kleinen Ma脽es.) g) Welche Beziehung besteht f眉r Lebesgue-Stieltjessche Ma脽e zwischen der Zerlegung aus Satz \(2.4\) und der Zerlegung gem盲脽 \(\mathrm{f}\) )? h) Ist \(\mu \sigma\)-endlich und atomlos, so gilt f眉r jedes \(A \in \mathfrak{A}:\\{\mu(C): C \in \mathfrak{A}, C \subset A\\}=[0, \mu(A)]\). i) Ist \(\mu \sigma\)-endlich und rein atomar, so ist \(\mu(\mathfrak{A})\) eine kompakte Teilmenge von \([0, \infty]\). (Hinweis: Konstruieren Sie eine stetige Surjektion des Cantorschen Diskontinuums (s. \(\S\) 8) auf \(\mu(\mathfrak{A}) .\).) j) Ist \(\mu \sigma\)-endlich, so ist \(\mu(\mathfrak{A})\) eine kompakte Teilmenge von \([0, \infty]\)
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